Satz der Karatheodorie

Sei S eine beliebige Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Wenn $ x \ in Co \ left (S \ right) $, dann $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

Beweis

Da $ x \ in Co \ left (S \ right) $ ist, wird $ x $ durch eine konvexe Kombination einer endlichen Anzahl von Punkten in S dargestellt, dh

$ x = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ Lambda_jx_j, \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ Lambda_j = 1, \ Lambda_j \ Geq 0 $ und $ x_j \ in S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Wenn $ k \ leq n + 1 $ ist, ist das erhaltene Ergebnis offensichtlich wahr.

Wenn $ k \ geq n + 1 $, dann sind $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ linear abhängig .

$ \ Rightarrow \ existiert \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (nicht alle Null), so dass $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ right) = 0 $

Definieren Sie $ \ mu_1 = - \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, dann $ \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

wobei nicht alle $ \ mu_js $ gleich Null sind. Da $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $ ist, muss mindestens eines der $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

Dann ist $ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

Wählen Sie $ \ alpha $ so, dass $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ für einige $ i = 1,2, ..., k $

Wenn $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Wenn $ \ mu_j> 0, dann \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

Insbesondere ist $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, per Definition von $ \ alpha $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, wobei

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ und $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ und $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Somit kann x als eine konvexe Kombination von höchstens (k-1) Punkten dargestellt werden.

Dieser Reduktionsprozess kann wiederholt werden, bis x als konvexe Kombination von (n + 1) Elementen dargestellt wird.