Stark quasikonvexe Funktion

Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ und S eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $, dann ist f eine stark quasikonvexe Funktion, wenn für $ x_1 x_2 \ in S. $ mit $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $ haben wir $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ links \ {f \ links (x_1 \ rechts), f \ links (x_2 \ rechts) \ rechts \}, \ forall \ lambda \ in \ links (0,1 \ rechts) $

Satz

Eine quasikonvexe Funktion $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ auf einer nicht leeren konvexen Menge S in $ \ mathbb {R} ^ n $ ist eine stark quasikonvexe Funktion, wenn sie auf einem Liniensegment, das eines verbindet, nicht konstant ist Punkte von S.

Beweis

Sei f eine quasikonvexe Funktion und auf einem Liniensegment, das Punkte von S verbindet, nicht konstant.

Angenommen, f ist keine stark quasikonvexe Funktion.

Es gibt $ x_1, x_2 \ in S $ mit $ x_1 \ neq x_2 $, so dass

$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ rechts) x_2, \ lambda \ in \ links (0,1 \ rechts) $$

$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ und $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $

Da f in $ \ left [x_1, z \ right] $ und $ \ left [z, x_2 \ right] $ nicht konstant ist

Es gibt also $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ und $ v = \ left [z, x_2 \ right] $

$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$

Da f quasikonvex ist,

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: und \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: und \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$

Aber z ist ein beliebiger Punkt zwischen u und v. Wenn einer von ihnen gleich ist, ist f konstant.

Daher $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $

was der Quasikonvexität von f als $ z \ in \ left [u, v \ right] $ widerspricht.

Daher ist f eine stark quasikonvexe Funktion.

Satz

Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ und S eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Wenn $ \ hat {x} $ eine lokale optimale Lösung ist, ist $ \ hat {x} $ eine eindeutige globale optimale Lösung.

Beweis

Da eine starke quasikonvexe Funktion auch eine streng quasikonvexe Funktion ist, ist eine lokale optimale Lösung eine globale optimale Lösung.

Uniqueness - Lassen Sie f an zwei Punkten $ u, v \ in S $ eine globale optimale Lösung erreichen

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: und \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ forall x \ in S $$

Wenn u eine globale optimale Lösung ist, $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ und $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right) $

$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right) $$

Das ist ein Widerspruch.

Daher gibt es nur eine globale optimale Lösung.

Bemerkungen

  • Eine stark quasikonvexe Funktion ist auch eine streng quasikonvexe Funktion.
  • Eine streng konvexe Funktion kann stark quasikonvex sein oder nicht.
  • Eine differenzierbare streng konvexe ist stark quasikonvex.