Quasiconvex- und Quasiconcave-Funktionen
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, wobei $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ eine nicht leere konvexe Menge ist. Die Funktion f wird als quasikonvex bezeichnet, wenn für jedes $ x_1, x_2 \ in S $ $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ gilt {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Zum Beispiel ist $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $
Sei $ f: S \ rightarrow R $, wobei $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ eine nicht leere konvexe Menge ist. Die Funktion f wird als quasikonvex bezeichnet, wenn für jedes $ x_1, x_2 \ in S $ $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ gilt {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Bemerkungen
- Jede konvexe Funktion ist quasikonvex, aber das Gegenteil ist nicht der Fall.
- Eine Funktion, die sowohl quasikonvex als auch quasikonkav ist, heißt Quasimonoton.
Satz
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ und S ist eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Die Funktion f ist genau dann quasikonvex, wenn $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ für jede reelle Zahl \ alpha $ konvex ist
Beweis
Sei f auf S quasikonvex.
Sei $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ also $ x_1, x_2 \ in S $ und $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $
Sei $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ und sei $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $
Somit ist $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $
Daher ist $ S _ {\ alpha} $ konvex.
Umgekehrt
Sei $ S _ {\ alpha} $ für jedes $ \ alpha $ konvex
$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $
$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $
Sei $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $
Für $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $
$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $
Daher bewiesen.
Satz
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ und S ist eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Die Funktion f ist genau dann quasikonkav, wenn $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ für jede reelle Zahl $ \ konvex ist Alpha $.
Satz
Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ und S ist eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Die Funktion f ist genau dann quasimonoton, wenn $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ für jede reelle Zahl $ \ alpha konvex ist $.