Extrempunkt einer konvexen Menge

Sei S eine konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Ein Vektor $ x \ in S $ wird als Extrempunkt von S bezeichnet, wenn $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ mit $ x_1, x_2 \ in S $ und $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

Beispiel

Step 1 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

Extrempunkt, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ right \ } $

Extrempunkt, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 - S ist das Polytop, das aus den Punkten $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ rechts), \ links (0,2 \ rechts) \ rechts \} $

Extrempunkt, $ E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ right \} $

Bemerkungen

• Jeder Punkt der konvexen Menge S kann als konvexe Kombination seiner Extrempunkte dargestellt werden.

• Dies gilt nur für geschlossene und begrenzte Mengen in $ \ mathbb {R} ^ n $.

• Dies gilt möglicherweise nicht für unbegrenzte Mengen.

k Extrempunkte

Ein Punkt in einer konvexen Menge wird genau dann als k extrem bezeichnet, wenn er der innere Punkt einer k-dimensionalen konvexen Menge innerhalb von S ist und kein innerer Punkt einer (k + 1) - dimensionalen konvexen Menge innerhalb von S. Grundsätzlich ergeben k Extrempunkte für eine konvexe Menge S k-dimensionale offene Flächen.