Streng quasikonvexe Funktion

Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ und S eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $, dann wird f als streng quasicovex-Funktion bezeichnet, wenn für jedes $ x_1 x_2 \ in S $ mit $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $ haben wir $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

Bemerkungen

Jede streng quasikonvexe Funktion ist streng konvex.
Eine streng quasikonvexe Funktion impliziert keine Quasikonvexität.
Streng genommen ist die quasikonvexe Funktion möglicherweise nicht stark quasikonvex.
Die pseudokonvexe Funktion ist eine streng quasikonvexe Funktion.

Satz

Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ eine streng quasikonvexe Funktion und S eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Betrachten Sie das Problem: $ min \: f \ left (x \ rechts), x \ in S $. Wenn $ \ hat {x} $ eine lokale optimale Lösung ist, ist $ \ bar {x} $ eine globale optimale Lösung.

Beweis

Es sei $ \ bar {x} \ in S $ vorhanden, so dass $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Da $ \ bar {x}, ist \ hat {x} \ in S $ und S konvex gesetzt, daher

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Da $ \ hat {x} $ lokale Minima ist, ist $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Da f streng quasikonvex ist.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

Daher ist es ein Widerspruch.

Streng quasikonkave Funktion

Sei $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ und S eine nicht leere konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $, dann gilt f als streng quasicovex-Funktion, wenn für jedes $ x_1, x_2 \ in S $ mit $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $ haben wir

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

Beispiele

$ f \ left (x \ right) = x ^ 2-2 $

Es ist eine streng quasikonvexe Funktion, denn wenn wir zwei beliebige Punkte $ x_1, x_2 $ in der Domäne nehmen, die die Einschränkungen in der Definition $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) erfüllen. <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Da die Funktion auf der negativen x-Achse abnimmt und auf der positiven x-Achse zunimmt ( da es eine Parabel ist).
$ f \ left (x \ right) = - x ^ 2 $

Es ist keine streng quasikonvexe Funktion, denn wenn wir $ x_1 = 1 $ und $ x_2 = -1 $ und $ \ lambda = 0,5 $ nehmen, dann ist $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ rechts) $ aber $ f \ links (\ lambda x_1 + \ links (1- \ lambda \ rechts) x_2 \ rechts) = 0 $ Daher erfüllt es nicht die in der Definition angegebenen Bedingungen. Aber es ist eine quasikonkave Funktion, denn wenn wir zwei beliebige Punkte in der Domäne nehmen, die die Einschränkungen in der Definition $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ erfüllen {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $. Da die Funktion in der negativen x-Achse zunimmt und in der positiven x-Achse abnimmt.