Konvexe Optimierung - Richtung

Sei S eine geschlossene konvexe Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $. Ein Nicht-Null-Vektor $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ wird als Richtung von S bezeichnet, wenn für jedes $ x \ in S x + \ lambda d \ in S \ forall \ lambda \ geq 0. $

  • Zwei Richtungen $ d_1 $ und $ d_2 $ von S werden als verschieden bezeichnet, wenn $ d \ neq \ alpha d_2 $ für $ \ alpha> 0 $ ist.

  • Eine Richtung $ d $ von $ S $ wird als extreme Richtung bezeichnet, wenn sie nicht als positive lineare Kombination zweier unterschiedlicher Richtungen geschrieben werden kann, dh wenn $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ für $ \ lambda _1, \ Lambda _2> 0 $, dann $ d_1 = \ alpha d_2 $ für einige $ \ alpha $.

  • Jede andere Richtung kann als positive Kombination extremer Richtungen ausgedrückt werden.

  • Für eine konvexe Menge $ S $ wird die Richtung d so aufgerufen, dass $ x + \ lambda d \ in S $ für einige $ x \ in S $ und alle $ \ lambda \ geq0 $ aufgerufen wird recessive für $ S $.

  • Sei E die Menge der Punkte, an denen eine bestimmte Funktion $ f: S \ rightarrow $ über einer nicht leeren konvexen Menge S in $ \ mathbb {R} ^ n $ ihr Maximum erreicht, dann heißt $ E $ exponierte Fläche von $ S $. Die Richtungen der belichteten Flächen werden als belichtete Richtungen bezeichnet.

  • Ein Strahl, dessen Richtung eine extreme Richtung ist, wird als extremer Strahl bezeichnet.

Beispiel

Betrachten Sie die Funktion $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, wobei $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Sei d ein Einheitsvektor in $ \ mathbb {R} ^ n $

Dann ist d die Richtung für die Funktion f, weil für jedes $ \ lambda \ geq 0 x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.