Konvexe Optimierung - affines Set

Eine Menge $ A $ wird als affine Menge bezeichnet, wenn für zwei verschiedene Punkte die Linie, die durch diese Punkte verläuft, in der Menge $ A $ liegt.

Note - -

• $ S $ ist genau dann eine affine Menge, wenn sie jede affine Kombination ihrer Punkte enthält.

• Leere und Singleton-Mengen sind sowohl affine als auch konvexe Mengen.

  Zum Beispiel ist die Lösung einer linearen Gleichung eine affine Menge.

Beweis

Sei S die Lösung einer linearen Gleichung.

Per Definition ist $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $

Sei $ x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ und $ Ax_2 = b $

Um zu beweisen: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right) ) b = b $

Somit ist S eine affine Menge.

Satz

Wenn $ C $ eine affine Menge ist und $ x_0 \ in C $, dann ist die Menge $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ ein Unterraum von C.

Beweis

Sei $ x_1, x_2 \ in V $

Zum Anzeigen: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ für einige $ \ alpha, \ beta $

Nun ist $ x_1 + x_0 \ in C $ und $ x_2 + x_0 \ in C $ per Definition von V.

Nun ist $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $

Aber $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ in C $, weil C eine affine Menge ist .

Daher $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $

Daher bewiesen.