Karush-Kuhn-Tucker Optimalität Notwendige Bedingungen

Betrachten Sie das Problem -

$ min \: f \ left (x \ right) $, so dass $ x \ in X $, wobei X eine offene Menge in $ \ mathbb {R} ^ n $ und $ g_i \ left (x \ right) \ leq ist 0, i = 1, 2, ..., m $

Sei $ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

Sei $ \ hat {x} \ in S $ und sei $ f $ und $ g_i, i \ in I $ differenzierbar bei $ \ hat {x} $ und $ g_i, i \ in J $ sind stetig bei $ \ hat {x} $. Außerdem sind $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $ linear unabhängig. Wenn $ \ hat {x} $ das obige Problem lokal löst, existiert $ u_i, i \ in I $, so dass

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limit_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ in I $

Wenn $ g_i, sind i \ in J $ auch bei $ \ hat {x} $ differenzierbar. dann $ \ hat {x} $, dann

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

Beispiel

Betrachten Sie das folgende Problem -

$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

so dass $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ und $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

Sei $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_ {1} $ und $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $

Somit können die obigen Einschränkungen wie folgt geschrieben werden:

$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ und $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Somit ist $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right) ) $ und

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

Wenn wir diese Werte in die erste Bedingung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen setzen, erhalten wir -

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ und $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Damit sind die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt.