Konvexe Optimierung - Norm

Eine Norm ist eine Funktion, die einem Vektor oder einer Variablen einen streng positiven Wert gibt.

Norm ist eine Funktion $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Die grundlegenden Merkmale einer Norm sind -

Sei $ X $ ein Vektor, so dass $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X und \: \ alpha \: ist \: a \: scalar $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ rechts \ | + \ links \ | y \ right \ | \ forall x, y \ in X $
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ left \ | x \ rechts \ | - \ links \ | y \ right \ | \ right \ | $

Per Definition wird die Norm wie folgt berechnet:

$ \ left \ | x \ rechts \ | _1 = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n \ links | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ rechts \ | _2 = \ links (\ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n \ links | x_i \ rechts | ^ 2 \ rechts) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ rechts \ | _p = \ links (\ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n \ links | x_i \ rechts | ^ p \ rechts) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

Norm ist eine stetige Funktion.

Beweis

Per Definition ist $ f \ left (x \ right) $ eine konstante Funktion, wenn $ x_n \ rightarrow x $ in $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ ist.

Sei $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $

Da $ x_n \ rightarrow x $ also $ \ left \ | ist x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Deshalb $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Norm ist also eine stetige Funktion.