Kosmologie - Flüssigkeitsgleichung
In diesem Kapitel werden wir die Fluidgleichung diskutieren und wie sie uns bezüglich der Dichte des Universums sagt, die sich mit der Zeit ändert.
Schätzung von ρ c und ρ im gegenwärtigen Universum
Für das gegenwärtige Universum -
$$ \ rho_c \ simeq 10 ^ {11} M_ \ odot M_ {pc} ^ {- 3} \ simeq 10 \: Wasserstoff \: Atome \: m ^ {- 3} $$
In unserem Weltraum gibt es eine ganze Reihe kritischer Dichten. Wie für das intergalaktische Medium ist $ \ rho_c $ 1 Wasserstoffatom $ m ^ {- 3} $, während es für Molekülwolken $ 10 ^ 6 $ Wasserstoffatome $ m ^ {- 3} $ ist.
Wir müssen $ \ rho_c $ unter Berücksichtigung der richtigen Raumproben messen. In unserer Galaxie ist der Wert von $ \ rho_c $ sehr hoch, aber unsere Galaxie ist kein Vertreter des gesamten Universums. Wir sollten also in den Weltraum gehen, in dem das kosmologische Prinzip gilt, dh Entfernungen ≈ 300 Mpc. 300 Mpc zu betrachten bedeutet, 1 Milliarde Jahre zurückzublicken, aber es ist immer noch das gegenwärtige Universum.
Umfragen wie SDSS werden durchgeführt, um die tatsächliche Materiedichte zu bestimmen. Sie nehmen ein Volumen von 5 × 500 × 5 Mpc 3 auf , zählen die Anzahl der Galaxien und fügen das gesamte von diesen Galaxien kommende Licht hinzu. Unter der Annahme, dass 1 L ≡ 1 M, dh 1 Sonnenhelligkeit ≡ 1 Sonnenmasse.
Wir führen eine Umwandlung von Licht in Masse durch und versuchen dann, die Anzahl der Baryonen basierend auf den in diesem Volumen vorhandenen Partikeln der sichtbaren Materie abzuschätzen.
Zum Beispiel,
$$ 1000L_ \ odot ≡ 1000M_ \ odot / m_p $$
Wobei m p = Masse des Protons.
Dann erhalten wir ungefähr die Baryonenzahldichte $ \ Omega b ∼ = 0,025 $. Dies impliziert $ \ rho b = 0,25% $ von $ \ rho_c $. Verschiedene Umfragen haben einen etwas anderen Wert ergeben. Im lokalen Universum ist die Zahlendichte der sichtbaren Materie also viel geringer als die kritische Dichte, was bedeutet, dass wir in einem offenen Universum leben.
Masse mit dem Faktor 10 ist in diesen Erhebungen nicht enthalten, da diese Erhebungen elektromagnetische Strahlung, aber keine dunkle Materie berücksichtigen. Geben, $ \ Omega_m = 0,3 - 0,4 $. Kommt immer noch zu dem Schluss, dass wir in einem offenen Universum leben.
Dunkle Materie interagiert mit der Schwerkraft. Viel dunkle Materie kann die Expansion stoppen. Wir haben noch nicht formalisiert, wie sich $ \ rho $ mit der Zeit ändert, wofür wir einen weiteren Satz von Gleichungen benötigen.
Thermodynamik besagt, dass -
$$ dQ = dU + dW $$
Für ein System, das an Größe zunimmt, ist $ dW = P dV $. Die Expansion des Universums wird als adiabatisch modelliert, dh $ dQ = 0 $. Eine Volumenänderung sollte also aufgrund einer Änderung der internen Energie dU erfolgen.
Nehmen wir ein bestimmtes Volumen des Universums mit dem Radius der Einheit, dh $ r_c = 1 $. Wenn $ \ rho $ die Materialdichte innerhalb dieses Raumvolumens ist, dann
$$ M = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3r_c ^ 3 \ rho $$
$$ U = \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 \ rho c ^ 2 $$
Wo, Uist die Energiedichte. Lassen Sie uns die Veränderung der inneren Energie mit der Zeit herausfinden, während sich das Universum ausdehnt.
$$ \ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ rho c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3 c ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} $$
In ähnlicher Weise ist die Änderung des Volumens mit der Zeit gegeben durch:
$$ \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} = 4 \ pi a ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
Ersetzen von $ dU = −P dV $. Wir bekommen,
$$ 4 \ pi a ^ 2 (c ^ 2 \ rho + P) \ dot {a} + \ frac {4} {3} \ pi a ^ 3c ^ 2 \ dot {\ rho} = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} +3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Dies nennt man das Fluid Equation. Es zeigt uns, wie sich die Dichte des Universums mit der Zeit ändert.
Der Druck sinkt, wenn sich das Universum ausdehnt. Zu jedem Zeitpunkt ändert sich der Druck, es gibt jedoch keinen Druckunterschied zwischen zwei Punkten des betrachteten Volumens, sodass der Druckgradient Null ist. Nur relativistische Materialien üben Druck aus, Materie ist drucklos.
Die Friedmann-Gleichung modelliert zusammen mit der Fluid-Gleichung das Universum.
Punkte, die man sich merken sollte
Dunkle Materie interagiert mit der Schwerkraft. Viel dunkle Materie kann die Expansion stoppen.
Die Flüssigkeitsgleichung zeigt uns, wie sich die Dichte des Universums mit der Zeit ändert.
Die Friedmann-Gleichung modelliert zusammen mit der Fluid-Gleichung das Universum.
Nur relativistische Materialien üben Druck aus, Materie ist drucklos.