Rotverschiebung und Rezessionsgeschwindigkeit
Hubbles Beobachtungen nutzten die Tatsache, dass die Radialgeschwindigkeit mit der Verschiebung der Spectral Lines. Hier werden wir vier Fälle beobachten und eine Beziehung zwischen der Rezessionsgeschwindigkeit ($ v_r $) und der Rotverschiebung (z) finden.
Fall 1: Nicht-relativistischer Fall der Quellenbewegung
In diesem Fall ist v viel kleiner als c. Die Quelle sendet ein Signal (Ton, Licht usw.) aus, das sich als ausbreitetWavefronts. Das Zeitintervall zwischen dem Senden von zwei aufeinanderfolgenden Signalen im Quellrahmen beträgtΔts. Das Zeitintervall zwischen dem Empfang von zwei aufeinanderfolgenden Signalen im Beobachterrahmen beträgtΔto.
Wenn sowohl der Beobachter als auch die Quelle stationär sind, ist Δts = Δto, aber dies ist hier nicht der Fall. Stattdessen ist die Beziehung wie folgt.
$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
Nun ist $ \ Delta l = v \ Delta t_s $
Da (Wellengeschwindigkeit x Zeit) = Wellenlänge, erhalten wir auch
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$
Aus den obigen Gleichungen erhalten wir die folgende Beziehung:
$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$
Dabei ist $ \ lambda _s $ die Wellenlänge des Signals an der Quelle und $ \ lambda _o $ die Wellenlänge des Signals, wie sie vom Beobachter interpretiert wird.
Hier, da sich die Quelle vom Beobachter entfernt, v ist positiv.
Rotverschiebung -
$$ z = \ frac {\ lambda_o - \ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} - 1 $$
Aus den obigen Gleichungen erhalten wir die Rotverschiebung wie folgt.
$$ z = \ frac {v} {c} $$
Fall 2: Nicht-relativistischer Fall von Beobachterbewegung
In diesem Fall ist v viel kleiner als c. Hier ist $ \ Delta l $ anders.
$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$
Bei Vereinfachung erhalten wir -
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ left (1 - \ frac {v} {c} \ right) ^ {- 1} $$
Wir bekommen Rotverschiebung wie folgt -
$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$
Schon seit v << cist der Rotverschiebungsausdruck für Fall I und Fall II ungefähr gleich.
Lassen Sie uns sehen, wie sich die Rotverschiebungen in den beiden oben genannten Fällen unterscheiden.
$$ z_ {II} - z_I = \ frac {v} {c} \ left [\ frac {1} {1 - v / c} -1 \ right] $$
Daher ist $ z_ {II} - z_ {I} $ aufgrund des Faktors $ (v / c) ^ 2 $ eine sehr kleine Zahl.
Dies impliziert, dass wir bei v << c nicht sagen können, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt.
Lassen Sie uns jetzt das verstehen Basics of STR (Spezielle Relativitätstheorie) -
Lichtgeschwindigkeit ist eine Konstante.
Wenn sich die Quelle (oder der Beobachter) mit einer Geschwindigkeit bewegt, die mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar ist, werden relativistische Effekte beobachtet.
Zeitdilatation: $ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
Längenkontraktion: $ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $
Hier ist $ \ gamma $ das Lorrentz factorgrößer als 1.
$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Fall 3: Relativistischer Fall der Quellenverschiebung
In diesem Fall ist v vergleichbar mit c. Beziehen Sie sich auf dieselbe Figur wie in Fall I. Aufgrund des relativistischen Effekts wird eine Zeitdilatation beobachtet und daher wird die folgende Beziehung erhalten. (Quelle bewegt sich mit relativistischer Geschwindigkeit)
$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Bei weiterer Vereinfachung erhalten wir:
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$
Der obige Ausdruck ist bekannt als Kinematic Doppler Shift Expression.
Fall 4: Relativistischer Fall der Beobachterbewegung
Beziehen Sie sich auf die gleiche Abbildung wie in Fall II. Aufgrund des relativistischen Effekts wird eine Zeitverkürzung beobachtet und daher wird die folgende Beziehung erhalten. (Beobachter bewegt sich mit relativistischer Geschwindigkeit)
$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$
Bei weiterer Vereinfachung erhalten wir -
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$
Der obige Ausdruck ist der gleiche wie der, den wir für Fall III erhalten haben.
Punkte, die man sich merken sollte
Rezessionsgeschwindigkeit und Rotverschiebung eines Sterns sind verwandte Größen.
In einem nicht relativistischen Fall können wir nicht feststellen, ob sich die Quelle bewegt oder stationär ist.
In einem relativistischen Fall gibt es keinen Unterschied in der Rotverschiebungs-Rezessions-Geschwindigkeitsbeziehung für die Bewegung der Quelle oder des Beobachters.
Bewegliche Uhren bewegen sich langsamer, ist ein direktes Ergebnis der Relativitätstheorie.