Kosmologie - Materie dominiertes Universum
In diesem Kapitel werden wir die Lösungen für Friedmann-Gleichungen im Zusammenhang mit dem von Materie dominierten Universum diskutieren. In der Kosmologie können wir, weil wir alles in großem Maßstab sehen, die Sonnensysteme, Galaxien, alles wie Staubpartikel (so sehen wir es mit unseren Augen), es staubiges Universum oder nur Materieuniversum nennen.
In dem Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
Wir können sehen, dass es einen Druckbegriff gibt. Für ein staubiges UniversumP = 0, weil die Energiedichte der Materie größer als der Strahlungsdruck ist und sich die Materie nicht mit relativistischer Geschwindigkeit bewegt.
So wird die Fluidgleichung,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: Konstante $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
In dieser Gleichung gibt es keine Gegenintuition, da die Dichte als $ a ^ {- 3} $ skaliert werden sollte, da das Volumen als $ a ^ 3 $ zunimmt.
Aus der letzten Beziehung können wir sagen, dass
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
Für das gegenwärtige Universum a, was gleich ist a0 sollte 1 sein. Also
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
In einem von Materie dominierten flachen Universum ist k = 0. Die Friedmann-Gleichung wird also:
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir:
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Dies bedeutet, dass das Universum mit abnehmender Geschwindigkeit weiter zunimmt. Das folgende Bild zeigt die Expansion eines staubigen Universums.
Wie ρ ändert sich mit der Zeit?
Schauen Sie sich die folgende Gleichung an:
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
Wir wissen, dass sich der Skalierungsfaktor mit der Zeit als $ t ^ {2/3} $ ändert. Damit,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Wenn wir es differenzieren, werden wir bekommen,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
Wir wissen, dass die Hubble Constant ist,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
Dies ist die Gleichung für Einstein-de sitter Universe. Wenn wir das gegenwärtige Alter des Universums berechnen wollen, dann
$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$
Nachdem wir den Wert von $ H_0 $ für das gegenwärtige Universum eingegeben haben, erhalten wir den Wert des Alters des Universums als 9 Gyrs. Es gibt vieleGlobular Cluster in unserer eigenen Milchstraße, die mehr Alter hat.
Das war alles über das staubige Universum. Wenn Sie nun annehmen, dass das Universum von Strahlung und nicht von Materie dominiert wird, lautet die Strahlungsenergiedichte $ a ^ {- 4} $ und nicht $ a ^ {- 3} $. Wir werden mehr davon im nächsten Kapitel sehen.
Punkte, die man sich merken sollte
In der Kosmologie ist alles wie Staubpartikel, daher nennen wir es staubiges Universum oder nur Materieuniversum.
Wenn wir annehmen, dass das Universum von Strahlung und nicht von Materie dominiert wird, lautet die Strahlungsenergiedichte eher $ a ^ {- 4} $ als $ a ^ {- 3} $.