Friedmann-Gleichung & Weltmodelle

In diesem Kapitel werden wir verstehen, was die Friedmann-Gleichung ist, und die Weltmodelle für verschiedene Krümmungskonstanten im Detail untersuchen.

Friedmann-Gleichung

Diese Gleichung sagt etwas über die Expansion des Raums in homogenen und isotropen Modellen des Universums aus.

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $

Dies wurde im Zusammenhang mit geändert General Relativity (GR) und Robertson-Walker Metric wie folgt.

GR-Gleichungen verwenden -

$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$

Wo kist die Krümmungskonstante. Deshalb,

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $

Außerdem wird $ \ rho $ durch eine Energiedichte ersetzt, die Materie, Strahlung und jede andere Energieform umfasst. Zu Darstellungszwecken wird es jedoch als $ \ rho $ geschrieben.

Weltmodelle für verschiedene Krümmungskonstanten

Betrachten wir nun die verschiedenen Möglichkeiten in Abhängigkeit von den Krümmungskonstantenwerten.

Fall 1: k = 1 oder geschlossenes Universum

Für ein expandierendes Universum ist $ da / dt> 0 $. Wenn die Expansion fortgesetzt wird, lautet der erste Term auf der rechten Seite der obigen Gleichung $ a ^ {- 3} $, während der zweite Term $ a ^ {- 2} $ lautet. Wenn die beiden Terme gleich werden, stoppt das Universum die Expansion. Dann -

$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$

Hier ist also k = 1

$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Ein solches Universum ist endlich und hat ein endliches Volumen. Dies nennt man ein geschlossenes Universum.

Fall 2: k = -1 oder Offenes Universum

Wenn k < 0würde die Expansion niemals aufhören. Nach einiger Zeit kann der erste Term auf der RHS im Vergleich zum zweiten Term vernachlässigt werden.

Hier ist k = -1. Daher ist $ da / dt ∼ c $.

In diesem Fall rollt das Universum aus. Ein solches Universum hat unendlich viel Raum und Zeit. Dies nennt man ein offenes Universum.

Fall 3: k = 0 oder flaches Universum

In diesem Fall dehnt sich das Universum mit abnehmender Geschwindigkeit aus. Hier ist k = 0. Daher ist

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$

Ein solches Universum hat unendlich viel Raum und Zeit. Dies nennt man ein flaches Universum.

Punkte, die man sich merken sollte

  • Die Friedmann-Gleichung sagt etwas über die Expansion des Raums in homogenen und isotropen Modellen des Universums aus.

  • Abhängig von unterschiedlichen Krümmungskonstantenwerten können wir ein geschlossenes, offenes oder flaches Universum haben.