Friedmann-Gleichung & Weltmodelle
In diesem Kapitel werden wir verstehen, was die Friedmann-Gleichung ist, und die Weltmodelle für verschiedene Krümmungskonstanten im Detail untersuchen.
Friedmann-Gleichung
Diese Gleichung sagt etwas über die Expansion des Raums in homogenen und isotropen Modellen des Universums aus.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Dies wurde im Zusammenhang mit geändert General Relativity (GR) und Robertson-Walker Metric wie folgt.
GR-Gleichungen verwenden -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
Wo kist die Krümmungskonstante. Deshalb,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Außerdem wird $ \ rho $ durch eine Energiedichte ersetzt, die Materie, Strahlung und jede andere Energieform umfasst. Zu Darstellungszwecken wird es jedoch als $ \ rho $ geschrieben.
Weltmodelle für verschiedene Krümmungskonstanten
Betrachten wir nun die verschiedenen Möglichkeiten in Abhängigkeit von den Krümmungskonstantenwerten.
Fall 1: k = 1 oder geschlossenes Universum
Für ein expandierendes Universum ist $ da / dt> 0 $. Wenn die Expansion fortgesetzt wird, lautet der erste Term auf der rechten Seite der obigen Gleichung $ a ^ {- 3} $, während der zweite Term $ a ^ {- 2} $ lautet. Wenn die beiden Terme gleich werden, stoppt das Universum die Expansion. Dann -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Hier ist also k = 1
$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Ein solches Universum ist endlich und hat ein endliches Volumen. Dies nennt man ein geschlossenes Universum.
Fall 2: k = -1 oder Offenes Universum
Wenn k < 0würde die Expansion niemals aufhören. Nach einiger Zeit kann der erste Term auf der RHS im Vergleich zum zweiten Term vernachlässigt werden.
Hier ist k = -1. Daher ist $ da / dt ∼ c $.
In diesem Fall rollt das Universum aus. Ein solches Universum hat unendlich viel Raum und Zeit. Dies nennt man ein offenes Universum.
Fall 3: k = 0 oder flaches Universum
In diesem Fall dehnt sich das Universum mit abnehmender Geschwindigkeit aus. Hier ist k = 0. Daher ist
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Ein solches Universum hat unendlich viel Raum und Zeit. Dies nennt man ein flaches Universum.
Punkte, die man sich merken sollte
Die Friedmann-Gleichung sagt etwas über die Expansion des Raums in homogenen und isotropen Modellen des Universums aus.
Abhängig von unterschiedlichen Krümmungskonstantenwerten können wir ein geschlossenes, offenes oder flaches Universum haben.