Kosmologie - Strahlungsdominiertes Universum
In diesem Kapitel werden wir die Lösungen für Friedmann-Gleichungen im Zusammenhang mit dem strahlungsdominierten Universum diskutieren. Am Anfang vergleichen wir die Energiedichte der Materie mit der der Strahlung. Auf diese Weise können wir sehen, ob unser Universum von Materie oder Strahlung dominiert wird.
Energiedichte der Strahlung
Die im gegenwärtigen Universum vorherrschende Strahlung kann den Sternquellen nur sehr wenig zugeschrieben werden, ist jedoch hauptsächlich auf den verbleibenden CMB (Cosmic Microwave Background) zurückzuführen.
Die Energiedichte der Strahlung $ \ epsilon _ {\ gamma, 0} $ kann wie folgt ausgedrückt werden:
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 $$
Hier, a ist die Strahlungskonstante, deren Ausdruck $ (8 \ pi ^ 5k_B ^ 4) / (15h ^ 3c ^ 2) $ gleich ist a = 7.5657 × 10−15erg\: cm−3 K−4. Die Temperatur T0, die wir hier betrachten, entspricht der des schwarzen Körpers, der dem CMB entspricht.
Wir haben die Ergebnisse ersetzt,
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 = 4 \ mal 10 ^ {- 13} erg \: cm ^ {- 3} $$
Energiedichte der Materie
In den folgenden Berechnungen gehen wir davon aus, mit einem flachen Universum und K = 0 zu arbeiten. Wir betrachten die Energiedichte der Materie als $ \ epsilon = \ rho c ^ 2 $. Wir betrachten Folgendes:
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 = 0,3 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,3 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {- 8} erg \: cm ^ {- 3} $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 = 0,03 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,03 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {- 9} erg \: cm ^ {- 3} $$
Aus der obigen Berechnung geht hervor, dass wir in einem von Materie dominierten Universum leben. Dies kann durch die Tatsache unterstützt werden, dass der CMB sehr kalt ist. Wenn wir in die Vergangenheit zurückblicken, würde die CMB-Temperatur heißer werden und wir können daraus schließen, dass es eine Epoche gegeben haben könnte, in der das Universum von Strahlung dominiert wurde.
Variation von Dichte und Skalierungsfaktor
Die Flüssigkeitsgleichung zeigt uns, dass -
$$ \ dot {\ rho} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Wenn wir ein staubiges Universum betrachten, hätten wir P = 0. Abgesehen von den vorherigen Ergebnissen betrachten wir das Universum als von Strahlung dominiert.
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Unter Verwendung der Druckrelation von $ P_ {rad} = \ rho c ^ {2/3} $ haben wir -
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {\ rho_ {rad}} {3} \ right) = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 4 \ frac {\ dot {a}} {a} (\ rho_ {rad}) = 0 $$
Bei weiterer Vereinfachung haben wir:
$$ \ frac {1} {a ^ 4} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ rho_ {rad} a ^ 4) = 0 $$
$$ \ rho_ {rad} a ^ 4 = \: Konstante $$
$$ \ rho_ {rad} \ propto \ frac {1} {a ^ 4} $$
Das obige Ergebnis zeigt eine inverse 4. Potenzvariation von a mit $ \ rho $.
Dies kann physikalisch als $ a ^ {- 3} $ interpretiert werden, das sich aus der Variation des Volumens ergibt, wenn es zunimmt. Die verbleibenden $ a ^ {- 1} $ können als die Energie behandelt werden, die das Photon aufgrund der Ausdehnung des Raums im Universum verliert (kosmologische Rotverschiebung 1 + z = a -1 ).
Das folgende Bild zeigt die zeitliche Veränderung von Materie und Strahlungsdichte.
Für ein flaches, strahlungsdominiertes Universum hätten wir die Friedmann-Gleichung wie folgt:
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ frac {\ rho_0} {a ^ 4} $$
Zur Vereinfachung und Anwendung der Lösung auf die Differentialgleichung haben wir -
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3a ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow a (t) \ propto t ^ {\ frac {1} {2}} $$
So haben wir -
$$ a (t) = a_0 \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Aus der obigen Gleichung sehen wir, dass die Anstiegsrate des Skalierungsfaktors kleiner ist als die des staubigen Universums.
Punkte, die man sich merken sollte
Die im gegenwärtigen Universum vorherrschende Strahlung kann den Sternquellen nur sehr wenig zugeschrieben werden.
Für ein staubiges Universum ist der Druck Null.
CMB ist sehr kalt.