Kosmologie - Robertson-Walker-Metrik
In diesem Kapitel werden wir die Robertson-Walker-Metrik im Detail verstehen.
Modell für den Skalierungsfaktor, der sich mit der Zeit ändert
Angenommen, ein Photon wird von einer entfernten Galaxie emittiert. Der Raum ist für Photonen in alle Richtungen vorwärts. Die Expansion des Universums erfolgt in alle Richtungen. Lassen Sie uns in den folgenden Schritten sehen, wie sich der Skalierungsfaktor mit der Zeit ändert.
Step 1 - Für ein statisches Universum beträgt der Skalierungsfaktor 1, dh der Wert der mitkommenden Entfernung ist die Entfernung zwischen den Objekten.
Step 2- Das folgende Bild ist das Diagramm des Universums, das sich immer noch ausdehnt, jedoch mit abnehmender Geschwindigkeit, was bedeutet, dass das Diagramm in der Vergangenheit beginnt. Dast = 0 zeigt an, dass das Universum von diesem Punkt aus gestartet ist.
Step 3 - Das folgende Bild ist die Grafik für das Universum, das sich schneller ausdehnt.
Step 4 - Das folgende Bild ist die Grafik für das Universum, das sich ab sofort zusammenzieht.
Wenn der Wert des Skalierungsfaktors wird 0 Während der Kontraktion des Universums impliziert dies, dass der Abstand zwischen den Objekten wird 0dh der richtige Abstand wird 0. Die kommende Entfernung, die die Entfernung zwischen den Objekten in einem gegenwärtigen Universum ist, ist eine konstante Größe. In der Zukunft, wenn der Skalierungsfaktor wird0wird alles näher kommen. Das Modell hängt von der Komponente des Universums ab.
Die Metrik für das flache (euklidische: es gibt keinen Parameter für die Krümmung) expandierende Universum ist gegeben als -
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) $$
Für Raum-Zeit wird das Linienelement, das wir in der obigen Gleichung erhalten haben, modifiziert als -
$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ rechts) \ rechts \} $$
Für die Raumzeit ist die Zeit, zu der das Photon emittiert wird und wann es detektiert wird, unterschiedlich. Die richtige Entfernung ist die momentane Entfernung zu Objekten, die sich im Laufe der Zeit aufgrund der Expansion des Universums ändern kann. Es ist die Entfernung, die das Photon von verschiedenen Objekten zurückgelegt hat, um zu uns zu gelangen. Es bezieht sich auf die kommende Entfernung als -
$$ d_p = a (t) \ times d_c $$
Dabei ist $ d_p $ der richtige Abstand und $ d_c $ der festgelegte Abstand, der fest ist.
Die gemessene Entfernung zu den Objekten im gegenwärtigen Universum wird als kommende Entfernung genommen, was bedeutet, dass die kommende Entfernung fest ist und durch die Expansion unverändert bleibt. In der Vergangenheit war der Skalierungsfaktor kleiner als 1, was darauf hinweist, dass der richtige Abstand kleiner war.
Wir können die Rotverschiebung zu einer Galaxie messen. Daher entspricht der richtige Abstand $ d_p $ $ c \ mal t (z) $, wobei $ t (z) $ die Rückblickzeit auf eine Rotverschiebung und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Die Lookback-Zeit ist eine Funktion der Rotverschiebung(z).
Lassen Sie uns anhand des obigen Begriffs analysieren, wie die kosmologische Rotverschiebung in diesem Szenario von $ d_p = a (t) \ times d_c $ interpretiert wird.
Angenommen, ein Photon (das erdgebunden ist) wird von der Galaxie G emittiert. Das $ t_ {em} $ entspricht der Zeit, zu der das Photon emittiert wurde; $ a (t_ {em}) $ war der Skalierungsfaktor zu dem Zeitpunkt, als das Photon emittiert wurde. Zum Zeitpunkt der Detektion des Photons hatte sich das gesamte Universum ausgedehnt, dh das Photon ist zum Zeitpunkt der Detektion rotverschoben. Das $ t_ {obs} $ entspricht der Zeit, zu der das Photon detektiert wird und der entsprechende Skalierungsfaktor ist $ a (t_ {obs}) $.
Der Faktor, um den das Universum gewachsen ist, ist gegeben durch -
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$
Der Faktor, um den sich die Wellenlänge erweitert hat, ist -
$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$
Das ist gleich dem Faktor, um den das Universum gewachsen ist. Die Symbole haben ihre übliche Bedeutung. Deshalb,
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$
Wir kennen diese Rotverschiebung (z) ist -
$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$
$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$
Der gegenwärtige Wert des Skalierungsfaktors ist 1, daher ist $ a (t_ {obs}) = 1 $ und bezeichnet den Skalierungsfaktor, als in der Vergangenheit Photonen emittiert wurden, mit $ a (t) $.
Deshalb,
$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$
Interpretation der Rotverschiebung in der Kosmologie
Um dies zu verstehen, nehmen wir das folgende Beispiel: Wenn $ z = 2 $, dann ist $ a (t) = 1/3 $.
Dies impliziert, dass sich das Universum um den Faktor drei erweitert hat, seit das Licht dieses Objekt verlassen hat. Die Wellenlänge der empfangenen Strahlung hat sich um den Faktor drei vergrößert, da sich der Raum während seines Transits vom emittierenden Objekt um den gleichen Faktor vergrößert hat. Es ist zu beachten, dass bei so großen Werten vonzDie Rotverschiebung ist hauptsächlich die kosmologische Rotverschiebung und kein gültiges Maß für die tatsächliche Rezessionsgeschwindigkeit des Objekts in Bezug auf uns.
Für kosmischen Mikrowellenhintergrund (CMB), z = 1089, was bedeutet, dass sich das gegenwärtige Universum um einen Faktor von erweitert hat ∼1090. Die Metrik für das flache, euklidische, expandierende Universum lautet:
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$
Wir möchten die Metrik in jeder Krümmung schreiben.
Robertson and Walker Für jedes Krümmungsuniversum (das homogen und isotrop ist) ist die Metrik gegeben als -
$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$
Dies ist allgemein bekannt als die Robertson–Walker Metricund gilt für jede Topologie des Raumes. Bitte beachten Sie den zusätzlichen Faktor in $ dr ^ 2 $. Hier ist die Krümmungskonstante.
Geometrie des Universums
Die Geometrie des Universums wird mit Hilfe der folgenden Krümmungen erklärt, darunter:
- Positive Krümmung
- Negative Krümmung
- Null Krümmung
Lassen Sie uns jedes davon im Detail verstehen.
Positive Krümmung
Wenn sich eine Tangentialebene, die an einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der Krümmung gezeichnet ist, an keinem Punkt der Oberfläche schneidet, spricht man von einer Oberfläche mit einer positiven Krümmung, dh die Oberfläche bleibt an diesem Punkt auf einer Seite der Tangentialebene. Die Oberfläche der Kugel hat eine positive Krümmung.
Negative Krümmung
Wenn sich eine Tangentialebene, die an einem Punkt auf der Oberfläche der Krümmung gezeichnet ist, an einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche schneidet, spricht man von einer Oberfläche mit negativer Krümmung, dh die Oberfläche krümmt sich von der Tangentialebene weg in zwei verschiedene Richtungen. Eine sattelförmige Oberfläche hat eine negative Krümmung.
Betrachten Sie nun die Oberfläche einer Kugel. Wenn ein Dreieck auf der Oberfläche der Kugel konstruiert wird, indem drei Punkte mit der Geodät (Bogen großer Kreise) verbunden werden, ist die Summe der Innenwinkel des sphärischen Dreiecks größer als 180 ° , dh -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$
Solche Räume werden positiv gekrümmte Räume genannt. Auch die Krümmung ist homogen und isotrop. Im Allgemeinen folgt der Winkel an den Eckpunkten des sphärischen Dreiecks der Beziehung -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$
wo A ist die Fläche des Dreiecks und Rist der Radius der Kugel. Das folgende Bild zeigt einen positiv gekrümmten Raum.
Für eine positive Krümmung sollten sich die parallelen Linien treffen. Betrachten Sie die Erdoberfläche, die ein positiv gekrümmter Raum ist. Nehmen Sie zwei Startpunkte am Äquator. Die Linien, die den Äquator im rechten Winkel kreuzen, werden als Längengrade bezeichnet. Da diese Linien den Äquator rechtwinklig kreuzen, können sie als parallele Linien bezeichnet werden. Ausgehend vom Äquator kreuzen sie sich schließlich an den Polen. Diese Methode wurde von verwendetCarl Gauss und andere, um die Topologie der Erde zu verstehen.
Betrachten Sie einen negativ gekrümmten Raum (ein Sattel im folgenden Bild), die Summe der Innenwinkel des Dreiecks beträgt weniger als 180 ° , dh -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$
Der Winkel an den Eckpunkten folgt der Beziehung -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$
Null Krümmung
Eine ebene Fläche hat keine Krümmung. Wenn für einen flachen Raum eine Ebene genommen und ein Dreieck durch Verbinden von drei Punkten mit geodätischen (geraden Linien) konstruiert wird, beträgt die innere Winkelsumme -
$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$
Das folgende Bild ist ein flacher zweidimensionaler Raum.
Wenn ein Raum homogen und isotrop sein soll, bleiben nur drei Möglichkeiten: Der Raum kann gleichmäßig flach sein oder eine gleichmäßige positive Krümmung oder eine gleichmäßige negative Krümmung aufweisen.
Die Krümmungskonstante kann einen der folgenden drei Werte annehmen.
$$ k = \ begin {Fälle} +1, & für \: a \: positiv \: gekrümmt \: Raum; \\\ Quad 0, & für \: a \: flach \: Raum; \\ - 1, & für \: a \: negativ \: gekrümmt \: Leerzeichen; \ end {Fälle} $$
Globale Topologie des Universums
Das Universum hat eine bestimmte Topologie, aber lokal kann es Falten haben. Abhängig davon, wie die Materie im Raum verteilt ist, gibt es kleinere Variationen in der Krümmung. Nehmen wir an, es gibt eine Klasse von Objekten, die unabhängig vom Ort im Universum dieselbe wahre Größe haben, was bedeutet, dass sie wie Standardkerzen sind. Sie haben nicht die gleiche Helligkeit, aber die gleiche Größe.
Befindet sich das Objekt in einem positiv gekrümmten Raum und kommen Photonen von Punkt A (ein Ende des Objekts) und B (anderes Ende des Objekts), breiten sich die Photonen im positiv gekrümmten Raum parallel über den geodätischen Pfad aus und treffen sich schließlich . Für einen Beobachter bei C scheint es, dass es von zwei verschiedenen Punkten in verschiedene Richtungen kam.
Wenn sich das Objekt im lokalen Universum befindet und wir die Winkelgröße messen, wird es nicht von der Krümmung beeinflusst. Wenn dieselbe Objektklasse bei einer größeren Rotverschiebung gesehen wird, korreliert die Winkelgröße nicht mit.
$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$
Wo d ist die Größe des Objekts und rist der Abstand zum Objekt, dh wenn die Größe größer als die lokale Größe ist, bedeutet dies, dass die Krümmung positiv ist. Das folgende Bild ist eine Darstellung des in einem positiv gekrümmten Raum detektierten Photons.
Es ist anzumerken, dass es kein echtes astrophysikalisches Objekt gibt, das eine Standardgröße und -morphologie aufweist. Es wurde zwar angenommen, dass eine massive elliptische cD - Galaxie zu den Standardkerzen passt, aber es wurde auch festgestellt, dass sie sich mit der Zeit weiterentwickelt.
Entfernungen zu Galaxien finden
In diesem Abschnitt werden wir diskutieren, wie man die Entfernung zu einer Galaxie unter Berücksichtigung des folgenden Bildes ermittelt.
Betrachten Sie die Milchstraße bei (r, θ,) in einem kosmologischen Ruhezustand. Man kann = 0 nehmen; (0, θ, ϕ), dh das Zentrum des Universums unter Berufung auf die Annahme der Homogenität.
Betrachten Sie eine Galaxie 'G' bei (r1, θ,). Die Entfernung (richtig) ist die kürzeste radiale Entfernung, die ein Photon zurücklegt. Aufgrund der Symmetrie von Raum und Zeit hat die Null-Geodät von r = 0 bis r = r1 eine konstante Richtung im Raum. In ihrer radialen Ausbreitung ändern sich die Winkelkoordinaten nicht. Wenn sich die Winkelkoordinaten ändern, ist dies nicht der kürzeste Weg. Dies ist der Grund, warum der Krümmungsterm in dr 2 vorhanden ist .
Punkte, die man sich merken sollte
Die Expansion des Universums erfolgt in alle Richtungen.
Das Universum kann statisch sein, sich ausdehnen oder zusammenziehen, abhängig von der Entwicklung des Skalierungsfaktors.
Die cD-Galaxien entwickeln sich mit der Zeit und können daher nicht als Standardkerzen verwendet werden.
Das Universum hat eine bestimmte Topologie, aber lokal kann es Falten haben.