Kosmologie - Hubble & Dichte-Parameter

In diesem Kapitel werden wir die Parameter Density und Hubble diskutieren.

Hubble-Parameter

Der Hubble-Parameter ist wie folgt definiert:

$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$

Hiermit wird gemessen, wie schnell sich der Skalierungsfaktor ändert. Allgemeiner wird die Entwicklung des Skalierungsfaktors durch die Friedmann-Gleichung bestimmt.

$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

wo, ist eine kosmologische Konstante.

Für ein flaches Universum ist k = 0, daher wird die Friedmann-Gleichung -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

Für ein von Materie dominiertes Universum variiert die Dichte als -

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$

und für ein strahlungsdominiertes Universum variiert die Dichte als -

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$

Gegenwärtig leben wir in einem von Materie dominierten Universum. Wenn wir also $ \ rho ≡ \ rho_m $ betrachten, erhalten wir -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

Die kosmologische Konstante und die Dunkle Energiedichte hängen wie folgt zusammen:

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

Daraus erhalten wir -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

Auch die kritische Dichte und die Hubble-Konstante hängen wie folgt zusammen:

$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$

Daraus erhalten wir -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$

$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Hier ist $ H (z) $ der rotverschiebungsabhängige Hubble-Parameter. Dies kann geändert werden, um den Strahlungsdichteparameter $ \ Omega_ {rad} $ und den Krümmungsdichteparameter $ \ Omega_k $ einzuschließen. Die modifizierte Gleichung lautet -

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

$$ Oder \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$

$$ Oder \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$

wo,

$$ E (z) \ äquiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Dies zeigt, dass der Hubble-Parameter mit der Zeit variiert.

Für die Einstein-de Sitter Universum, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.

Wenn wir diese Werte eingeben, erhalten wir -

$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$

Dies zeigt die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters für das Einstein-de-Sitter-Universum.

Dichteparameter

Der Dichteparameter $ \ Omega $ ist definiert als das Verhältnis der tatsächlichen (oder beobachteten) Dichte ρ zur kritischen Dichte $ \ rho_c $. Für jede Größe $ x $ des entsprechenden Dichteparameters kann $ \ Omega_x $ mathematisch ausgedrückt werden als -

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

Für verschiedene betrachtete Größen können wir die folgenden Dichteparameter definieren.

S.No. Menge Dichteparameter
1 Baryonen

$ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $

2 Materie (Baryonisch + Dunkel)

$ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $

3 Dunkle Energie

$ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $

4 Strahlung

$ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $

Wo die Symbole ihre übliche Bedeutung haben.

Punkte, die man sich merken sollte

  • Die Entwicklung des Skalierungsfaktors wird durch die Friedmann Equation.

  • H(z) ist der rotverschiebungsabhängige Hubble-Parameter.

  • Das Hubble Parameter variiert mit der Zeit.

  • Das Density Parameter ist definiert als das Verhältnis der tatsächlichen (oder beobachteten) Dichte zur kritischen Dichte.