Kosmologie - Hubble & Dichte-Parameter
In diesem Kapitel werden wir die Parameter Density und Hubble diskutieren.
Hubble-Parameter
Der Hubble-Parameter ist wie folgt definiert:
$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$
Hiermit wird gemessen, wie schnell sich der Skalierungsfaktor ändert. Allgemeiner wird die Entwicklung des Skalierungsfaktors durch die Friedmann-Gleichung bestimmt.
$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$
wo, ∧ ist eine kosmologische Konstante.
Für ein flaches Universum ist k = 0, daher wird die Friedmann-Gleichung -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$
Für ein von Materie dominiertes Universum variiert die Dichte als -
$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$
und für ein strahlungsdominiertes Universum variiert die Dichte als -
$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$
Gegenwärtig leben wir in einem von Materie dominierten Universum. Wenn wir also $ \ rho ≡ \ rho_m $ betrachten, erhalten wir -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$
Die kosmologische Konstante und die Dunkle Energiedichte hängen wie folgt zusammen:
$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$
Daraus erhalten wir -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$
Auch die kritische Dichte und die Hubble-Konstante hängen wie folgt zusammen:
$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$
Daraus erhalten wir -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Hier ist $ H (z) $ der rotverschiebungsabhängige Hubble-Parameter. Dies kann geändert werden, um den Strahlungsdichteparameter $ \ Omega_ {rad} $ und den Krümmungsdichteparameter $ \ Omega_k $ einzuschließen. Die modifizierte Gleichung lautet -
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
$$ Oder \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$
$$ Oder \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
wo,
$$ E (z) \ äquiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Dies zeigt, dass der Hubble-Parameter mit der Zeit variiert.
Für die Einstein-de Sitter Universum, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.
Wenn wir diese Werte eingeben, erhalten wir -
$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$
Dies zeigt die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters für das Einstein-de-Sitter-Universum.
Dichteparameter
Der Dichteparameter $ \ Omega $ ist definiert als das Verhältnis der tatsächlichen (oder beobachteten) Dichte ρ zur kritischen Dichte $ \ rho_c $. Für jede Größe $ x $ des entsprechenden Dichteparameters kann $ \ Omega_x $ mathematisch ausgedrückt werden als -
$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$
Für verschiedene betrachtete Größen können wir die folgenden Dichteparameter definieren.
| S.No. | Menge | Dichteparameter |
|---|---|---|
| 1 | Baryonen | $ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $ |
| 2 | Materie (Baryonisch + Dunkel) | $ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $ |
| 3 | Dunkle Energie | $ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $ |
| 4 | Strahlung | $ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $ |
Wo die Symbole ihre übliche Bedeutung haben.
Punkte, die man sich merken sollte
Die Entwicklung des Skalierungsfaktors wird durch die Friedmann Equation.
H(z) ist der rotverschiebungsabhängige Hubble-Parameter.
Das Hubble Parameter variiert mit der Zeit.
Das Density Parameter ist definiert als das Verhältnis der tatsächlichen (oder beobachteten) Dichte zur kritischen Dichte.