Hubble-Parameter & Skalierungsfaktor
In diesem Kapitel werden wir sowohl den Hubble-Parameter als auch den Skalierungsfaktor diskutieren.
Prerequisite - Kosmologische Rotverschiebung, kosmologische Prinzipien.
Assumption - Das Universum ist homogen und isotrop.
Hubble-Konstante mit Bruchteil der Änderungsrate des Skalierungsfaktors
In diesem Abschnitt werden wir die Hubble-Konstante mit der gebrochenen Änderungsrate des Skalierungsfaktors in Beziehung setzen.
Wir können die Geschwindigkeit auf folgende Weise schreiben und vereinfachen.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Hier, v ist die Rezessionsgeschwindigkeit, a ist der Skalierungsfaktor und rp ist der richtige Abstand zwischen den Galaxien.
Hubble’s Empirical Formula war von der Natur -
$$ v = H \ ast r_p $$
Wenn wir also die beiden obigen Gleichungen vergleichen, erhalten wir -
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- Dies ist keine Konstante, da der Skalierungsfaktor eine Funktion der Zeit ist. Daher wird es als Hubble-Parameter und nicht als Hubble-Konstante bezeichnet.
Empirisch schreiben wir -
$$ H = V / D $$
Aus dieser Gleichung können wir also schließen, dass da D nimmt zu und V ist also eine Konstante H reduziert sich mit der Zeit und Expansion des Universums.
Friedmann-Gleichung in Verbindung mit dem Robertson-Walker-Modell
In diesem Abschnitt werden wir verstehen, wie die Friedmann-Gleichung in Verbindung mit dem Robertson-Walker-Modell verwendet wird. Um dies zu verstehen, nehmen wir das folgende Bild, das eine Testmasse in einiger Entfernung aufweistrp vom Körper der Masse M als Beispiel.
Unter Berücksichtigung des obigen Bildes können wir Kraft ausdrücken als -
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Hier, G ist die universelle Gravitationskonstante und ρ ist die Materiedichte innerhalb des beobachtbaren Universums.
Unter der Annahme einer einheitlichen Massendichte innerhalb der Kugel können wir schreiben:
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Wenn wir diese in unserer Kraftgleichung verwenden, erhalten wir -
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
Somit können wir die potentielle Energie und kinetische Energie der Masse schreiben m als -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Verwendung der Virial Theorem - -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Aber hier ist $ r_p = ar_c $. Also bekommen wir -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Bei weiterer Vereinfachung erhalten wir die Friedmann-Gleichung,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Hier Uist eine Konstante. Wir stellen auch fest, dass das Universum, in dem wir gegenwärtig leben, von Materie dominiert wird, während die Strahlungsenergiedichte sehr niedrig ist.
Punkte, die man sich merken sollte
Der Hubble-Parameter verringert sich mit der Zeit und der Expansion des Universums.
Das Universum, in dem wir gegenwärtig leben, wird von Materie dominiert und die Strahlungsenergiedichte ist sehr gering.