Kosmologie - Transitmethode
Die Transitmethode (Kepler Space Telescope)wird verwendet, um die Größe herauszufinden. Der Helligkeitsabfall eines Sterns durch einen Planeten ist normalerweise weniger als bei einem binären System.
F0 ist der Fluss des Sterns, bevor der Planet ihn verdeckt.
F1 ist der Fluss, nachdem sich der gesamte Planet vor dem Stern befindet.
Das folgende Bild wird für alle Berechnungen verwendet.
$$ \ frac {F_0 - F_1} {F_0} = \ frac {\ pi r_p ^ {2}} {\ pi R ^ 2_ \ ast} $$
$$ \ frac {\ Delta F} {F} \ cong \ frac {r ^ 2_p} {R ^ 2_ \ ast} $$
$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {earth} \ cong 0,001 \% $$
$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {jupiter} \ cong 1 \% $$
Dies ist mit einem Bodenteleskop nicht einfach zu erreichen. Dies wird durch das Hubble-Teleskop erreicht.
Hier ist $ t_T $ die Zeit zwischen Position A und D und $ t_F $ ist die Zeit zwischen Position B und C.
Die Geometrie eines Transits in Bezug auf die Neigung ivom System. Transitbreite und Neigung sind austauschbar.
Aus den obigen Bildern können wir schreiben -
$$ \ frac {h} {a} = cos (i) $$
$$ \ frac {h} {R_ \ ast} = sin (\ delta) $$
$$ cos (i) = \ frac {R_ \ ast sin (\ delta)} {a} $$
$$ y ^ 2 = (R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2 $$
$$ y = [(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2] ^ {\ frac {1} {2}} $$
$$ sin (\ theta) = \ frac {y} {a} $$
$$ \ theta = sin ^ {- 1} \ left [\ frac {(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - a ^ 2cos ^ 2 (i)} {a ^ 2} \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$
$$ t_T = \ frac {P} {2 \ pi} \ times 2 \ theta $$
Hier ist $ t_T $ der Bruchteil eines Zeitraums, für den der Transit stattfindet, und (2θ / 2π) ist der Bruchteil des Winkels, für den der Transit stattfindet.
$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1+ \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Normalerweise ist ein >> R ∗ >> Rp. Also können wir schreiben -
$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [1- \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Hier, Pist die Dauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen. Die Transitzeit ist im Vergleich zur Umlaufzeit sehr viel kürzer. Daher,
$$ t_T = \ frac {P} {\ pi} \ left [\ left (\ frac {R_ \ ast} {a} \ right) ^ 2 - cos ^ 2 (i) \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$
Hier, tT, P, R∗ sind die Observablen, a und i sollte herausgefunden werden.
Jetzt,
$$ sin (\ frac {t_F \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1 - \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos \: i \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
wobei $ y ^ 2 = (R_ \ ast - R_p) ^ 2 - h ^ 2 $.
Lassen,
$$ \ frac {\ Delta F} {F} = D = \ left (\ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 $$
Jetzt können wir ausdrücken,
$$ \ frac {a} {R_ \ ast} = \ frac {2P} {\ pi} D ^ {\ frac {1} {4}} (t ^ 2_T - t ^ 2_F) ^ {- \ frac {1 } {2}} $$
Für die Hauptreihensterne
$$ R_ \ ast \ propto M ^ \ alpha_ \ ast $$
$$ \ frac {R_ \ ast} {R_0} \ propto \ left (\ frac {M_ \ ast} {M_0} \ right) ^ \ alpha $$
Das gibt R∗.
Daher erhalten wir auch den Wert von 'a'.
Also bekommen wir 'R p ', 'ap' und sogar 'i'.
Für all das,
$$ h \ leq R_ \ ast + R_p $$
$$ a \: cos \: i \ leq R_ \ ast + R_p $$
Selbst bei ~ 89 Grad ist die Transitdauer sehr gering. Der Planet muss sehr nahe sein, um eine ausreichende Transitzeit zu erhalten. Dies gibt eine enge Einschränkung für 'i'. Sobald wir 'i' erhalten, können wir 'm p ' aus der Radialgeschwindigkeitsmessung ableiten .
Diese Erkennung durch das Transitverfahren wird als Zufallserkennung bezeichnet, dh als Wahrscheinlichkeit, einen Transit zu beobachten. Die Berechnungen der Transitwahrscheinlichkeit (Beobachtungswahrscheinlichkeit) sind nachstehend aufgeführt.
Die Transitwahrscheinlichkeit hängt mit dem Raumwinkel zusammen, der durch die beiden extremen Transitkonfigurationen verfolgt wird, nämlich -
$$ Festkörper \: Winkel \: von \: Planet \: = 2 \ pi \ left (\ frac {2R_ \ ast} {a} \ right) $$
Sowie der gesamte Raumwinkel an einer Semi-Major-Achse a oder -
$$ Festkörper \: Winkel \: von \: Kugel \: = \: 4 \ pi $$
Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis dieser beiden Bereiche -
$$ = \: \ frac {Fläche \: von \: Himmel \: bedeckt \: von \: günstige \: Ausrichtung} {Fläche \: von \: Himmel \: bedeckt \: von \: all \: möglich \: Ausrichtung \: von \: Umlaufbahn} $$
$ = \ frac {4 \ pi a_pR_ \ ast} {4 \ pi a ^ 2_p} = \ frac {R_ \ ast} {a_p} $ $ \ frac {area \: of \: hollow \: cyclinder} {area \ : of \: sphäre} $
Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig vom Beobachter.
Punkte, die man sich merken sollte
- Die Transitmethode (Kepler Space Telescope) wird verwendet, um die Größe herauszufinden.
- Die Erkennung durch die Transitmethode ist eine zufällige Erkennung.
- Der Planet muss sehr nahe sein, um eine ausreichende Transitzeit zu erhalten.
- Die Transitwahrscheinlichkeit hängt mit dem Raumwinkel des Planeten zusammen.
- Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig vom Referenzrahmen des Beobachters.