L'espace-temps peut-il être courbé même en l'absence de toute source? [dupliquer]

Question

L'équation d'Einstein en l'absence de toute source (c.-à-d. $T_{ab}=0$) $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0$$ a la solution $$R_{ab}=0.$$

Mais je pense $R_{ab}=0$n'implique pas que toutes les composantes du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel$R^c_{dab}$être nul (ou est-ce le cas?). A partir de là, puis-je conclure que l'espace-temps peut être courbé même en l'absence de toute source?

Answer 1

Ce que vous demandez est appelé une solution de vide aux équations de terrain. Cela ne veut pas dire qu'il n'y a aucune masse nulle part , mais plutôt que nous considérons une région de notre espace-temps courbe dans laquelle il n'y a pas de masse.

La solution de Schwarzschild par exemple est une "solution de vide" parce que nous considérons la région en dehors de la masse centrale dans laquelle il n'y a pas de matière, mais dans laquelle la courbure est non nulle.

Vous avez raison de dire que la disparition des composantes du tenseur de Ricci n'implique pas la disparition des composantes du tenseur de Riemann complet.$R_{\mu\nu}=0$ est une solution sous vide, ${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}=0$ est un espace-temps plat.

Answer 2

C'est une réponse simple:

Je considérerais cela de la même manière que la question suivante:

Est-ce que

$$ {\bf \nabla \cdot E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

implique un champ électrique nul dans une région sans densité de charge?

À quoi la réponse est clairement «non».

Et à titre d'exemple: les astronautes sur la lune. Ils étaient là dans un très bon vide, laissant tomber des plumes et des marteaux, qui ont ensuite décollé comme des géodésiques.

Answer 3

Vous avez raison. $R_{ab}=0$ n'implique pas $R^{a}_{bcd}=0$. Pour une chose,$R_{ab}$ a 10 composants (en $n=4$ dimensions), alors que $R^{a}_{bcd}$ a $20$Composants. L'exemple le plus simple auquel je puisse penser est la solution Schwarzschild, qui a$R_{ab}=0$ partout mais $R^{a}_{bcd}\neq0$. Si vous autorisez l'inclusion d'une constante cosmologique, alors la métrique de Sitter est un exemple de solution vide avec une courbure d'espace-temps non triviale. Comme indiqué ici

https://physics.stackexchange.com/a/105336/96768

Un espace-temps contenant des ondes gravitationnelles est vide mais avec un tenseur de Riemann non trivial.

Answer 4

C'est vrai. Mais cela ne signifie pas que la courbure vient de nulle part. L'équation de champ décrit la courbure (localement) en un point uniquement à partir de$T_{\mu \nu}$au même point (car tout est construit dans une variété différentielle et les espaces tangents à chaque point ne sont pas liés les uns aux autres). Si$T_{\mu \nu}$ est égal à zéro en un point, vous finissez par dériver une solution de vide.