Preuve: pas un carré parfait
Laisser $y$être un entier. Prouve-le
$$(2y-1)^2 -4$$
n'est pas un carré parfait.
J'ai trouvé cette question dans un livre de mathématiques discret et j'ai essayé de la résoudre en divisant la question en deux parties:
$$y = 2k , y = 2k + 1$$
Mais cela ne m'a mené nulle part.
Réponses
Par souci de contradiction, écrivez $(2y-1)^2-4=n^2$ où $n$est un entier. De manière équivalente$$4=(2y-1-n)(2y-1+n).$$ La différence entre les deux facteurs est $2n$, c'est à dire même. Seuls les moyens de factoriser$4$ avec des facteurs qui diffèrent par un nombre pair sont $(-2)\cdot(-2)$ et $2 \cdot 2$, les deux cas sont impossibles car ils impliquent $n=0$ et $(2y-1)^2=4$.
les carrés impairs sont $1 \pmod 4,$mais c'est plus précis que cela. Les carrés impairs sont$1 \pmod 8.$ Vous pouvez vérifier cela en quadrillant, disons, $1,3,5,7$ et trouvez le reste une fois divisé par $8$. En particulier, les carrés ne sont jamais$5 \pmod 8.$ Votre $(2y-1)^2 - 4 \equiv 5 \pmod 8$ et ne peut pas être un carré
Supposer:
$$(2 y - 1)^2 - 4 = a^2$$
pour certains $a$.
ensuite
$$(2 y - 1 + 2)(2 y - 1 - 2) = (2 y + 1)(2 y - 3) = a^2$$
Pouvez-vous le prendre d'ici?
Pensez à la factorisation principale de chaque côté.
Pour $y\le-1$, $(2y-1)^2-4$ est entre des carrés consécutifs $(2y)^2$ et $(2y-1)^2$.
Pour $y\in\{0,1\}$, $(2y-1)^2-4$ est négatif, donc pas un carré.
Pour $y\ge2$, $(2y-1)^2-4$ est entre des carrés consécutifs $(2y-2)^2$ et $(2y-1)^2$.
$(2y-1)^2-4=4(y^2-y)-3$ Si c'était un carré parfait, ce serait $=c^2$, où c est un entier. Résoudre pour$y$ dans $4(y^2-y)-3-c^2=0$ et obtenir $y=\frac{4\pm \sqrt{16+16(3+c^2)}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{4+c^2}}{2}$.
pourtant $c^2+4$ ne peut pas être un carré, à moins que $c=0$ (où $y$n'est pas un entier). Présumer$c^2+4=b^2$ donc $b=c+a$ avec $(c+a)^2=c^2+2ac+a^2$. $2ac+a^2=4$n'a pas de solutions entières possibles. ($a=1$ LHS est étrange, $a\gt 1$ LHS $\gt 4$).
Donc pas d'entier possible $y$.
$(2y-1)^2 - 4 = (2y-1)^2 - 2^2 = (2y-1+2)(2y-1-2) = (2y+1)(2y-3)$
Notez que $2y+1$ et $2y-3$sont toujours des entiers distincts. Par conséquent, prouver que leur produit ne peut pas être un carré est accompli en montrant qu'ils sont premiers (pas de facteurs premiers en commun) et qu'ils ne sont pas les deux carrés en même temps.
$\mathrm{gcd}(2y+1, 2y-3) =\mathrm{gcd}(2y+1, (2y+1)-(2y-3)) = \mathrm{gcd}(2y+1, 4) = 1$(la dernière partie observe trivialement que l'un est impair, l'autre pair). Par conséquent$2y+1$ et $2y-3$ sont coprime.
Notez maintenant que les deux $2y+1$ et $2y-3$ sont bizarres avec une différence de $4$. La différence minimale entre deux carrés impairs est$3^2 - 1^2 = 8$. Donc, ils ne peuvent pas être tous les deux des carrés.
Par conséquent $(2y+1)(2y-3) = (2y-1)^2 - 4$ ne peut pas être un carré.
Une autre preuve: WLOG suppose $y>0$. Regardez les différences entre le carré de deux nombres consécutifs:$1, 3, 5, 7$, etc. Par conséquent, le seul moyen d'obtenir une différence de 4 est 2 ^ 0-0 = 1 + 3, ce qui est impossible car $2y-1$ est impair.
La différence entre deux carrés $a^2$ et $b^2$ avec $a^2< b^2$ vaut au moins 5 si $|b|$ est d'au moins 3.
Il ne vous reste donc plus qu'à vérifier directement $(2y-1)^2 =0,1,4$. Et comme$2y-1$ est étrange, en fait seulement $2y-1=1$.