फ्रीडमैन समीकरण और विश्व मॉडल
इस अध्याय में, हम समझेंगे कि फ्रीडमैन समीकरण क्या है और विभिन्न वक्रता स्थिरांक के लिए विश्व मॉडल के बारे में विस्तार से अध्ययन करें।
फ्रीडमैन समीकरण
यह समीकरण हमें ब्रह्मांड के सजातीय और आइसोट्रोपिक मॉडल में अंतरिक्ष के विस्तार के बारे में बताता है।
$$ \ left (\ frac {\ _ {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a} 2} $ $
के संदर्भ में इसे संशोधित किया गया था General Relativity (जीआर) और रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक निम्नानुसार है।
जीआर समीकरणों का उपयोग करना -
$ $ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $ $
कहाँ पे kवक्रता स्थिर है। इसलिए,
$ $ \ बाईं (\ frac {\ _ {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
इसके अलावा, $ \ rho $ को ऊर्जा घनत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमें पदार्थ, विकिरण और ऊर्जा का कोई अन्य रूप शामिल होता है। लेकिन अभिप्रेरक उद्देश्यों के लिए, इसे $ \ rho $ के रूप में लिखा जाता है।
विभिन्न वक्रता स्थिरांक के लिए विश्व मॉडल
आइए अब हम वक्रता निरंतर मूल्यों के आधार पर विभिन्न संभावनाओं को देखें।
केस 1: k = 1, या बंद ब्रह्मांड
एक विस्तारित ब्रह्मांड के लिए, $ da / dt> 0 $। जैसा कि विस्तार जारी है, उपरोक्त समीकरण के आरएचएस पर पहला शब्द $ ^ ^ - 3} $ के रूप में जाता है, जबकि दूसरा शब्द $ ^ ^ - 2} $ के रूप में जाता है। जब दो शब्द समान हो जाते हैं तो ब्रह्मांड का विस्तार रुक जाता है। फिर -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
यहाँ, k = 1, इसलिए,
$ $ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $ $
ऐसा ब्रह्मांड परिमित है और परिमित मात्रा है। इसे क्लोज्ड यूनिवर्स कहा जाता है।
केस 2: k = -1, या ओपन यूनिवर्स
अगर k < 0विस्तार कभी रुका नहीं होगा। कुछ बिंदु के बाद, दूसरे कार्यकाल की तुलना में आरएचएस पर पहले शब्द की उपेक्षा की जा सकती है।
यहाँ, के = -1। इसलिए, $ दा / डीटी $ सी $।
इस मामले में, ब्रह्मांड तटीय है। ऐसे ब्रह्मांड में अनंत स्थान और समय है। इसे ओपन यूनिवर्स कहा जाता है।
केस 3: k = 0, या फ्लैट यूनिवर्स
इस मामले में, ब्रह्मांड कम दर पर विस्तार कर रहा है। यहाँ, k = 0. इसलिए,
$ $ \ _ (\ frac {\ _ {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
ऐसे ब्रह्मांड में अनंत स्थान और समय है। इसे फ्लैट यूनिवर्स कहा जाता है।
याद दिलाने के संकेत
फ्राइडमैन समीकरण हमें ब्रह्मांड के समरूप और समधर्मी मॉडल में अंतरिक्ष के विस्तार के बारे में बताता है।
विभिन्न वक्रता निरंतर मूल्यों के आधार पर, हमारे पास एक बंद, खुला या सपाट ब्रह्मांड हो सकता है।