कॉस्मोलॉजी - रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक
इस अध्याय में, हम रॉबर्टसन-वॉकर मेट्रिक के बारे में विस्तार से समझेंगे।
समय के साथ स्केल फैक्टर बदलने के लिए मॉडल
मान लीजिए कि एक फोटॉन एक दूर की आकाशगंगा से उत्सर्जित होती है। अंतरिक्ष सभी दिशाओं में फोटॉन के लिए आगे है। ब्रह्मांड का विस्तार सभी दिशाओं में है। आइए देखें कि निम्न चरणों में समय के साथ स्केल फैक्टर कैसे बदलता है।
Step 1 - स्थिर ब्रह्माण्ड के लिए, स्केल फैक्टर 1 है, अर्थात कोमोविंग दूरी का मान पिंडों के बीच की दूरी है।
Step 2- निम्नलिखित छवि ब्रह्मांड का ग्राफ है जो अभी भी विस्तारित हो रहा है लेकिन कम दर पर, जिसका अर्थ है कि ग्राफ अतीत में शुरू होगा। t = 0 इंगित करता है कि ब्रह्मांड उस बिंदु से शुरू हुआ था।
Step 3 - निम्नलिखित छवि ब्रह्मांड के लिए ग्राफ है जो एक तेज दर से विस्तार कर रही है।
Step 4 - निम्नलिखित छवि ब्रह्मांड के लिए ग्राफ है जो अभी से अनुबंध करना शुरू करती है।
यदि स्केल फैक्टर का मान बन जाता है 0 ब्रह्मांड के संकुचन के दौरान, इसका तात्पर्य वस्तुओं के बीच की दूरी से है 0, यानी उचित दूरी बन जाती है 0। वर्तमान ब्रह्मांड में पिंडों के बीच की दूरी, एक निरंतर मात्रा है। भविष्य में, जब स्केल फैक्टर बन जाता है0, सब कुछ करीब आ जाएगा। मॉडल ब्रह्मांड के घटक पर निर्भर करता है।
फ्लैट के लिए मीट्रिक (यूक्लिडियन: वक्रता के लिए कोई पैरामीटर नहीं है) विस्तार ब्रह्मांड को निम्नानुसार दिया गया है -
$ $ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ बाईं (dr ^ 2 + r ^ 2d \ थीटा ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ थीटा d \ varphi ^ 2 \ right) $ $
स्पेस-टाइम के लिए, उपरोक्त समीकरण में हमें प्राप्त लाइन तत्व को इस प्रकार संशोधित किया गया है -
$ $ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ बाईं \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ थीटा ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ थीटा d \ varphen ^ 2 \ _ दायें) \ _ \ _ $ $
अंतरिक्ष के लिए - समय, जिस समय फोटॉन उत्सर्जित होता है और जब इसका पता लगाया जाता है तो वह अलग होता है। उचित दूरी वस्तुओं के लिए तात्कालिक दूरी है जो ब्रह्मांड के विस्तार के कारण समय के साथ बदल सकती है। यह वह दूरी है जो फोटॉन ने हमें प्राप्त करने के लिए विभिन्न वस्तुओं से यात्रा की थी। यह कोमोविंग दूरी से संबंधित है -
$ $ d_p = a (t) \ टाइम्स d_c $$
जहाँ $ d_p $ उचित दूरी है और $ d_c $ कोमोविंग दूरी है, जो निश्चित है।
वर्तमान ब्रह्मांड में वस्तुओं के लिए मापी गई दूरी को कोमोविंग दूरी के रूप में लिया जाता है, जिसका अर्थ है कि कोमोविंग दूरी तय हो गई है और विस्तार से अपरिवर्तित है। अतीत के लिए, स्केल फैक्टर 1 से कम था, जो इंगित करता है कि उचित दूरी छोटा था।
हम एक आकाशगंगा में रेडशिफ्ट को माप सकते हैं। इसलिए उचित दूरी $ d_p $ $ c \ गुना t (z) $ से मेल खाती है, जहां $ t (z) $ एक रिडशिफ्ट की ओर देखने का समय है और c निर्वात में प्रकाश की गति है। लुकबैक टाइम रेडशिफ्ट का एक फंक्शन है(z)।
उपरोक्त धारणा के आधार पर, हम विश्लेषण करते हैं कि कैसे $ d_p = a (t) \ टाइम्स d_c $ के इस परिदृश्य में कॉस्मोलॉजिकल रेड शिफ्ट की व्याख्या की जाती है।
एक फोटॉन मान लें (जो पृथ्वी से बंधी हुई है) आकाशगंगा द्वारा उत्सर्जित होती है, जी। $ T_ {em} $ उस समय से मेल खाती है जब फोटॉन उत्सर्जित होता था; $ (t_ {em}) $ उस समय पैमाना कारक था जब फोटोन उत्सर्जित होता था। फोटॉन का पता लगाने के समय तक, पूरे ब्रह्मांड का विस्तार हो गया था, अर्थात पहचान के समय फोटॉन को फिर से जोड़ा गया। $ T_ {अवलोकन} $ उस समय से मेल खाती है जब फोटोन का पता लगाया जाता है और इसी पैमाने का कारक $ a (t_ {obs}) $ होता है।
ब्रह्माण्ड किसके द्वारा विकसित किया गया है वह कारक -
$$ \ frac {एक (T_ {ओ बीएस})} {एक (T_ {उन्हें})} $$
वह कारक जिसके द्वारा तरंगदैर्ध्य का विस्तार हुआ है -
$$ \ frac {\ lambda_ {ओ बीएस}} {\ lambda_ {उन्हें}} $$
जो उस कारक के बराबर है जिसके द्वारा ब्रह्मांड विकसित हुआ है। प्रतीकों का अपना सामान्य अर्थ है। इसलिए,
$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $ $
हम उस कमी को जानते हैं (z) है -
$ $ z = \ frac {\ _ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ _ lambda_ {obs}} {\ _ lambda_ [em}}} - 1 $ $
$ $ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $ $
स्केल फैक्टर का वर्तमान मूल्य 1 है, इसलिए $ a (t_ {obs}) = 1 $ है और जब फोटॉन को $ a (t) $ द्वारा अतीत में उत्सर्जित किया गया था, तो स्केल फैक्टर को दर्शाते हुए।
इसलिए,
$ $ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $ $
कॉस्मोलॉजी में रेडशिफ्ट की व्याख्या
इसे समझने के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं: यदि $ z = 2 $ तो $ a (t) = 1/3 $।
इसका तात्पर्य है कि प्रकाश के उस वस्तु से निकल जाने के बाद से ब्रह्मांड का विस्तार तीन के एक कारक से हुआ है। प्राप्त विकिरण की तरंग दैर्ध्य का विस्तार तीन के एक कारक से हुआ है क्योंकि उत्सर्जन वस्तु से उसके पारगमन के दौरान एक ही कारक द्वारा अंतरिक्ष का विस्तार हुआ है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इतने बड़े मूल्यों परz, रेडशिफ्ट मुख्य रूप से कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट है, और यह हमारे संबंध में वस्तु के वास्तविक पुनरावर्तन वेग का एक वैध उपाय नहीं है।
कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड के लिए (CMB), z = 1089, जिसका अर्थ है कि वर्तमान ब्रह्मांड का विस्तार कारक के रूप में हुआ है ∼1090। फ्लैट, यूक्लिडियन, विस्तारित ब्रह्मांड के लिए मीट्रिक इस प्रकार है -
$ $ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ थीटा ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ थीटा d \ varphi ^ 2) $ $
हम किसी भी वक्रता में मीट्रिक लिखना चाहते हैं।
Robertson and Walker किसी भी वक्रता ब्रह्माण्ड (जो सजातीय और आइसोट्रोपिक है) के लिए सिद्ध होता है, मेट्रिक इस प्रकार दिया जाता है -
$ $ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ थीटा ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varni ^ 2 \ right] $ $
यह आमतौर पर के रूप में जाना जाता है Robertson–Walker Metricऔर अंतरिक्ष के किसी भी टोपोलॉजी के लिए सच है। कृपया $ dr ^ 2 $ में अतिरिक्त कारक पर ध्यान दें। यहाँ वक्रता स्थिर है।
ब्रह्मांड की ज्यामिति
ब्रह्माण्ड की ज्यामिति को निम्नलिखित वक्रताओं की सहायता से समझाया गया है, जिसमें शामिल हैं -
- सकारात्मक वक्रता
- नकारात्मक वक्रता
- शून्य वक्रता
आइए हम इनमें से प्रत्येक को विस्तार से समझें।
सकारात्मक वक्रता
यदि वक्रता की सतह पर किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा तल सतह पर किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो इसे धनात्मक वक्रता वाली सतह कहा जाता है अर्थात सतह उस बिंदु पर स्पर्शरेखा तल के एक तरफ रहती है। क्षेत्र की सतह में सकारात्मक वक्रता है।
नकारात्मक वक्रता
यदि वक्रता की सतह पर एक बिंदु पर खींची गई एक स्पर्शरेखा तल सतह पर किसी बिंदु पर मिलती है, तो इसे एक नकारात्मक वक्रता वाली सतह कहा जाता है अर्थात, सतह दो अलग-अलग दिशाओं में स्पर्शरेखा तल से दूर घटती है। एक काठी के आकार की सतह पर एक नकारात्मक वक्रता होती है।
अब एक गोले की सतह पर विचार करें। यदि त्रिभुज की सतह पर त्रिभुज का निर्माण जियोडेसिक (महान वृत्त के चाप) के साथ तीन बिंदुओं के साथ किया जाता है, तो गोलाकार त्रिभुज के आंतरिक कोण का योग 180 o से अधिक होता है , अर्थात -
$ $ \ अल्फा + \ बीटा + \ गामा> \ pi $ $
ऐसे स्थानों को सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान कहा जाता है। इसके अलावा, वक्रता समरूप और समस्थानिक है। सामान्य तौर पर, गोलाकार त्रिभुज के कोण पर संबंध निम्नानुसार है -
$ $ \ अल्फा + \ बीटा + \ गामा = \ pi + ए / आर ^ २ $ $
कहाँ पे A त्रिभुज का क्षेत्रफल और है Rक्षेत्र की त्रिज्या है। निम्न छवि एक सकारात्मक घुमावदार स्थान को दर्शाती है।
सकारात्मक वक्रता के लिए, समानांतर रेखाओं को मिलना चाहिए। पृथ्वी की सतह पर विचार करें, जो एक सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान है। भूमध्य रेखा पर दो शुरुआती बिंदु लें। जो रेखाएँ समकोण पर भूमध्य रेखा को पार करती हैं उन्हें देशांतर रेखाओं के रूप में जाना जाता है। चूंकि ये रेखाएं समकोण पर समकोण से पार करती हैं, इसलिए उन्हें समानांतर रेखाओं के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। भूमध्य रेखा से शुरू होकर, वे अंततः ध्रुवों पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस विधि का उपयोग किया गया थाCarl Gauss और दूसरों को पृथ्वी की टोपोलॉजी को समझने के लिए।
एक नकारात्मक रूप से घुमावदार जगह पर विचार करें (निम्नलिखित छवि में दिखाया गया एक काठी), त्रिकोण के आंतरिक कोणों का योग 180 ओ से कम है , अर्थात -
$ $ \ अल्फा + \ बीटा + \ गामा <\ pi $ $
कोण पर कोण संबंध का अनुसरण करता है -
$ $ \ अल्फा + \ बीटा + \ गामा = \ pi - ए / आर ^ २ $ $
शून्य वक्रता
एक विमान की सतह में शून्य वक्रता होती है। अब एक सपाट स्थान के लिए, यदि एक विमान लिया जाता है और एक त्रिभुज का निर्माण भू-स्थान (सीधी रेखाओं) के साथ तीन बिंदुओं को जोड़कर किया जाता है, तो कोण का आंतरिक योग होगा -
$ $ \ अल्फा + \ बीटा + \ गामा = \ pi $ $
निम्न छवि समतल 2-आयामी स्थान है।
यदि कोई समरूप और समस्थानिक होना चाहता है, तो केवल तीन संभावनाएँ रह जाती हैं: अंतरिक्ष समान रूप से सपाट हो सकता है या इसमें एक समान सकारात्मक वक्रता हो सकती है या इसमें एक समान नकारात्मक वक्रता हो सकती है।
वक्रता स्थिरांक निम्न तीन मानों में से किसी को भी मान सकता है।
$$ k = \ start {case} +1, और for:: a: पॉजिटिवली \ _: कर्व्ड \: स्पेस; \\। क्विड 0, & फॉर \ _: ए: फ्लैट \: स्पेस; \\ - 1; & के लिए \: एक: नकारात्मक रूप से \: घुमावदार \: अंतरिक्ष; \ अंत {मामलों} $ $
ब्रह्मांड की वैश्विक टोपोलॉजी
ब्रह्मांड की एक निश्चित टोपोलॉजी है, लेकिन स्थानीय रूप से इसमें झुर्रियां हो सकती हैं। अंतरिक्ष में बात कैसे वितरित की जाती है इसके आधार पर, वक्रता में छोटे बदलाव होते हैं। आइए हम मान लें कि वस्तुओं का एक वर्ग है जिसका समान आकार है चाहे वह ब्रह्मांड में कोई भी हो, जिसका अर्थ है कि वे मोमबत्ती की तरह हैं। उनके पास समान चमक नहीं है, लेकिन उनका आकार समान है।
यदि वस्तु सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान पर है और फोटॉनों बिंदु ए (वस्तु का एक छोर) और बी (वस्तु का दूसरा छोर) से आता है, तो फोटॉनों जियोडेसिक के मार्ग के माध्यम से सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान में समानांतर प्रचार करेंगे और वे अंततः मिलेंगे। । सी में एक पर्यवेक्षक के लिए, ऐसा लगेगा कि यह दो अलग-अलग बिंदुओं से अलग-अलग दिशाओं में आया था।
यदि वस्तु स्थानीय ब्रह्मांड में है और हम कोणीय आकार को मापते हैं, तो यह वक्रता से प्रभावित नहीं होता है। यदि समान श्रेणी के ऑब्जेक्ट को अधिक से अधिक रेडशिफ्ट पर देखा जाता है, तो कोणीय आकार के साथ संबंध नहीं होता है।
$ $ \ थीटा = \ frac {d} {r} $ $
कहाँ पे d वस्तु का आकार है और rवस्तु की दूरी है, अर्थात यदि आकार स्थानीय आकार से अधिक है, तो इसका मतलब है कि वक्रता सकारात्मक है। निम्नलिखित छवि एक सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थान में पता लगाए गए फोटॉन का प्रतिनिधित्व है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोई वास्तविक ज्योतिषीय वस्तु नहीं है जो मानक आकार और आकृति विज्ञान की है। हालाँकि एक विशाल अण्डाकार cD - आकाशगंगा को मानक मोमबत्तियों के अनुकूल माना जाता था, लेकिन वे भी समय के साथ विकसित होती पाई गईं।
आकाशगंगाओं के दूरियों का पता लगाना
इस खंड में, हम चर्चा करेंगे कि निम्नलिखित छवि को ध्यान में रखकर एक आकाशगंगा की दूरी कैसे ज्ञात करें।
एक कॉस्मोलॉजिकल रेस्ट फ्रेम में मिल्की वे (आर, θ) पर विचार करें। एक ले सकता है = 0; (0, of, ϕ), यानी समरूपता की धारणा को लागू करके ब्रह्मांड का केंद्र।
एक आकाशगंगा 'जी' पर (आर 1,),) पर विचार करें। दूरी (उचित) एक फोटॉन द्वारा यात्रा की गई सबसे छोटी रेडियल दूरी है। अंतरिक्ष की समरूपता से - समय, n = 0 से r = r1 तक की अशक्त भू-आकृति, अंतरिक्ष में एक स्थिर दिशा है। इसके रेडियल प्रसार में, कोणीय निर्देशांक नहीं बदलते हैं। यदि कोणीय निर्देशांक परिवर्तित हो जाते हैं, तो यह सबसे छोटा मार्ग नहीं है। यही कारण है कि कर्व अवधि 2 डीआर में मौजूद है ।
याद दिलाने के संकेत
ब्रह्मांड का विस्तार सभी दिशाओं में है।
पैमाने कारक विकास के आधार पर ब्रह्मांड स्थिर, विस्तार या अनुबंधित हो सकता है।
CD-galaxies समय के साथ विकसित होती है और इसलिए इसे मानक मोमबत्तियों के रूप में इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है।
ब्रह्मांड में कुछ टोपोलॉजी है, लेकिन स्थानीय रूप से इसमें झुर्रियां हो सकती हैं।