हबल पैरामीटर और स्केल फैक्टर
इस अध्याय में, हम हबल पैरामीटर के साथ-साथ स्केल फैक्टर के बारे में चर्चा करेंगे।
Prerequisite - कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट, कॉस्मोलॉजिकल प्रिंसिपल्स।
Assumption - ब्रह्मांड समरूप और आइसोट्रोपिक है।
हबल की लगातार स्केल परिवर्तन के आंशिक दर के साथ
इस खंड में, हम हबल के कॉन्स्टेंट को स्केल ऑफ़ फैक्टर की आंशिक दर के साथ संबंधित करेंगे।
हम निम्नलिखित तरीके से वेग लिख सकते हैं और सरल कर सकते हैं।
$ $ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $ $
$ $ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $ $
$ $ v = \ frac {\ mathrm {d} a {{mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $ $
$ $ v = \ frac {\ mathrm {d} a {{mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $ $
यहाँ, v पुनरावर्तन वेग है, a पैमाना कारक है और rp आकाशगंगाओं के बीच उचित दूरी है।
Hubble’s Empirical Formula प्रकृति का था -
$ $ v = H \ ast r_p $ $
इस प्रकार, उपर्युक्त दो समीकरणों की तुलना -
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$ $ H = da / dt \ ast 1 / $ $
Note- यह एक स्थिर नहीं है क्योंकि स्केल फैक्टर समय का एक फ़ंक्शन है। इसलिए इसे हबल का पैरामीटर कहा जाता है, न कि हबल के स्थिरांक को।
अनुभवपूर्वक हम लिखते हैं -
$ $ एच = वी / डी $ $
इस प्रकार, इस समीकरण से, हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि कब से D बढ़ रहा है और V एक स्थिर है, तो H ब्रह्मांड के समय और विस्तार के साथ कम हो जाता है।
फ्राइडमैन समीकरण रॉबर्टसन-वॉकर मॉडल के साथ संयोजन के रूप में
इस खंड में, हम समझेंगे कि रॉबर्टसन-वॉकर मॉडल के साथ संयोजन में फ्राइडमैन समीकरण का उपयोग कैसे किया जाता है। इसे समझने के लिए, हम निम्नलिखित छवि लेते हैं, जिसमें दूरी पर एक परीक्षण द्रव्यमान होता हैrp द्रव्यमान के शरीर से M उदाहरण के तौर पे।
उपरोक्त छवि को ध्यान में रखते हुए, हम बल को व्यक्त कर सकते हैं -
$ $ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $ $
यहाँ, G सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और ρ अवलोकन ब्रह्मांड के अंदर पदार्थ घनत्व है।
अब, क्षेत्र के भीतर एक समान द्रव्यमान घनत्व को हम लिख सकते हैं -
$ $ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $ $
अपने बल समीकरण में इनका उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं -
$ $ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $ $
इस प्रकार, हम द्रव्यमान की संभावित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा लिख सकते हैं m के रूप में -
$ $ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $ $
$ $ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $ $
का उपयोग करते हुए Virial Theorem -
$ $ यू = केई + वी $ $
$ $ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac [4}} 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $ $
लेकिन यहां, $ r_p = ar_c $। तो, हम -
$ $ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ _ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ _rac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $ +
आगे सरलीकरण पर, हम फ्रीडमैन समीकरण प्राप्त करते हैं,
$$ \ left (\ frac {\ _ {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ _ ast r_c ^ 2 \ ast a 2 $ $
यहाँ Uएक स्थिर है। हम यह भी ध्यान देते हैं कि वर्तमान में हम जिस ब्रह्मांड में रहते हैं, उस पर पदार्थ का प्रभुत्व है, जबकि विकिरण ऊर्जा का घनत्व बहुत कम है।
याद दिलाने के संकेत
हबल पैरामीटर ब्रह्मांड के समय और विस्तार के साथ कम हो जाता है।
वर्तमान में हम जिस ब्रह्मांड में रहते हैं उस पर पदार्थ का प्रभुत्व है और विकिरण ऊर्जा का घनत्व बहुत कम है।