Kernel integral dari $e^{itH_{0}}$

Question

Dalam mekanika kuantum, status perkembangan waktu dari sistem satu partikel diberikan oleh $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, dimana $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ adalah Hamiltonian gratis, $t\in \mathbb{R}$ dan $\Delta$adalah operator Laplace biasa. Aku pernah melihat keduanya$e^{itH_{0}}$ dan $e^{tH_{0}}$memiliki kernel integral, yaitu \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} dan \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } di mana$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ dan $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Pertanyaan: Bagaimana cara membuktikan (\ ref {1}) dan (\ ref {2})?

Answer 1

Pada dasarnya kami memiliki PDE $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Mengambil transformasi Fourier di $\vec{x}$ hasil argumen di ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ dengan solusi $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

Sisi kanan adalah hasil kali dari dua fungsi $\vec{k}$ dan oleh karena itu transformasi Fourier dari sebuah konvolusi: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ dimana $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Jika $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ kemudian $\hat{u}$ dapat diubah menghasilkan $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

Jadi, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$