디지털 회로-부울 대수
Boolean Algebra이진수 및 이진 변수를 다루는 대수입니다. 따라서 이진 대수 또는 논리 대수라고도합니다. George Boole이라는 수학자는 1854 년에이 대수를 개발했습니다.이 대수에 사용 된 변수는 부울 변수라고도합니다.
로직 'High'에 해당하는 전압 범위는 '1'로 표시되고 로직 'Low'에 해당하는 전압 범위는 '0'으로 표시됩니다.
부울 대수의 가정 및 기본 법칙
이 섹션에서는 부울 대수에 사용되는 부울 가정과 기본 법칙에 대해 논의하겠습니다. 이는 부울 함수를 최소화하는 데 유용합니다.
부울 가정
이진수 0과 1, 부울 변수 (x) 및 그 보수 (x ')를 고려하십시오. 부울 변수 또는 그 보완은 다음과 같이 알려져 있습니다.literal. 가능한 네 가지logical OR 이러한 리터럴과 이진수 간의 연산은 다음과 같습니다.
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x '= 1
마찬가지로 가능한 네 가지 logical AND 이러한 리터럴과 이진수 간의 연산은 다음과 같습니다.
x.1 = x
x.0 = 0
xx = x
x.x '= 0
이것들은 단순한 부울 가정입니다. Boolean 변수를 '0'또는 '1'로 대체하여 이러한 가정을 쉽게 확인할 수 있습니다.
Note− 부울 변수의 보수는 변수 자체와 동일합니다. 즉, (x ')'= x.
부울 대수의 기본 법칙
다음은 부울 대수의 세 가지 기본 법칙입니다.
- 교환법
- 연합 법
- 분배 법
교환법
두 개의 부울 변수의 논리 연산이이 두 변수의 순서에 관계없이 동일한 결과를 제공하는 경우 해당 논리 연산은 다음과 같습니다. Commutative. 두 부울 변수 x 및 y의 논리적 OR 및 논리적 AND 연산은 다음과 같습니다.
x + y = y + x
xy = yx
기호 '+'는 논리 OR 연산을 나타냅니다. 마찬가지로 기호 '.' 논리 AND 연산을 나타내며 표시하는 것은 선택 사항입니다. 교환법은 논리적 OR 및 논리적 AND 연산을 따릅니다.
연합 법
두 개의 부울 변수에 대한 논리 연산이 먼저 수행되고 나머지 변수로 동일한 연산이 수행되면 동일한 결과가 나오면 해당 논리 연산은 Associative. 세 가지 부울 변수 x, y 및 z의 논리적 OR 및 논리적 AND 연산이 아래에 나와 있습니다.
x + (y + z) = (x + y) + z
x. (yz) = (xy) .z
연관 법은 논리적 OR 및 논리적 AND 연산을 따릅니다.
배급 법
논리 연산이 부울 함수에있는 모든 용어에 배포 될 수있는 경우 해당 논리 연산은 다음과 같습니다. Distributive. 3 개의 부울 변수 x, y 및 z의 논리적 OR 및 논리적 AND 연산의 분포는 다음과 같습니다.
x. (y + z) = xy + xz
x + (yz) = (x + y). (x + z)
분배 법은 논리적 OR 및 논리적 AND 연산을 따릅니다.
이것이 부울 대수의 기본 법칙입니다. 부울 변수를 '0'또는 '1'로 대체하여 이러한 법칙을 쉽게 확인할 수 있습니다.
부울 대수 정리
다음 두 가지 정리가 부울 대수에 사용됩니다.
- 이중성 정리
- DeMorgan의 정리
이중성 정리
이 정리는 dual논리 AND 연산자를 논리 OR 연산자로 바꾸고 0을 1로 바꿔 부울 함수의 값을 얻습니다. 모든 부울 함수에 해당하는 이중 함수가 있습니다.
부울 가정과 기본 법칙 섹션에서 논의한 부울 방정식 (관계)을 두 그룹으로 만들어 보겠습니다. 다음 표는이 두 그룹을 보여줍니다.
| 그룹 1 | 그룹 2 |
|---|---|
| x + 0 = x | x.1 = x |
| x + 1 = 1 | x.0 = 0 |
| x + x = x | xx = x |
| x + x '= 1 | x.x '= 0 |
| x + y = y + x | xy = yx |
| x + (y + z) = (x + y) + z | x. (yz) = (xy) .z |
| x. (y + z) = xy + xz | x + (yz) = (x + y). (x + z) |
각 행에는 두 개의 부울 방정식이 있으며 서로 이중입니다. 이원성 정리를 사용하여 Group1과 Group2의 이러한 모든 부울 방정식을 확인할 수 있습니다.
DeMorgan의 정리
이 정리는 complement of Boolean function. 두 개 이상의 부울 변수의 논리 OR의 보수가 각 보완 변수의 논리 AND와 동일 함을 나타냅니다.
2 개의 부울 변수 x와 y를 갖는 DeMorgan의 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
(x + y) '= x'.y'
위의 Boolean 함수의 이중은
(xy) '= x'+ y '
따라서 두 부울 변수의 논리 AND의 보수는 각 보완 변수의 논리 OR과 같습니다. 마찬가지로 2 개 이상의 부울 변수에도 DeMorgan의 정리를 적용 할 수 있습니다.
부울 함수의 단순화
지금까지 우리는 부울 대수의 가정, 기본 법칙 및 정리에 대해 논의했습니다. 이제 일부 부울 함수를 단순화 해 보겠습니다.
예 1
하자 simplify 부울 함수, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
이 함수는 두 가지 방법으로 단순화 할 수 있습니다.
Method 1
부울 함수가 주어지면 f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr입니다.
Step 1− 첫 번째 및 두 번째 항에서 r은 공통이고 세 번째 및 네 번째 항에서 pq는 공통입니다. 따라서 다음을 사용하여 일반적인 용어를 사용하십시오.Distributive law.
⇒ f = (p'q + pq ') r + pq (r'+ r)
Step 2− 첫 번째 괄호 안에있는 용어는 Ex-OR 연산으로 단순화 할 수 있습니다. 두 번째 괄호에있는 용어는 다음을 사용하여 '1'로 단순화 할 수 있습니다.Boolean postulate
⇒ f = (p ⊕q) r + pq (1)
Step 3− 첫 번째 용어는 더 단순화 할 수 없습니다. 그러나 두 번째 항은 다음을 사용하여 pq로 단순화 할 수 있습니다.Boolean postulate.
⇒ f = (p ⊕q) r + pq
따라서 단순화 된 부울 함수는 다음과 같습니다. f = (p⊕q)r + pq
Method 2
부울 함수가 주어지면 f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr입니다.
Step 1 − 사용 Boolean postulate, x + x = x. 즉, 부울 변수 'n'번을 사용한 논리적 OR 연산은 동일한 변수와 동일합니다. 따라서 마지막 용어 pqr을 두 번 더 쓸 수 있습니다.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 − 사용 Distributive law1 일 , 4 일 개 측면, 2 차 및 5 번째 측면, 3 번째 및 여섯 개 번째 관점.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q'+ q) + pq (r '+ r)
Step 3 − 사용 Boolean postulate, x + x '= 1은 각 괄호 안에있는 항을 단순화합니다.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 − 사용 Boolean postulate, x.1 = x는 위의 세 항을 단순화합니다.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
따라서 단순화 된 부울 함수는 다음과 같습니다. f = pq + qr + pr.
따라서 각 메서드에서 주어진 부울 함수를 단순화 한 후 두 개의 다른 부울 함수를 얻었습니다. 기능적으로이 두 부울 함수는 동일합니다. 따라서 요구 사항에 따라 두 가지 부울 함수 중 하나를 선택할 수 있습니다.
예 2
우리가 complement 부울 함수 f = p'q + pq '.
부울 함수의 보수는 f '= (p'q + pq') '입니다.
Step 1 − DeMorgan의 정리, (x + y) '= x'.y'를 사용합니다.
⇒ f '= (p'q)'. (pq ')'
Step 2 − DeMorgan의 정리, (xy) '= x'+ y '사용
⇒ f '= {(p') '+ q'}. {p '+ (q') '}
Step3 − 부울 가정, (x ')'= x를 사용합니다.
⇒ f '= {p + q'}. {p '+ q}
⇒ f '= pp'+ pq + p'q '+ qq'
Step 4 − 부울 가정, xx '= 0을 사용합니다.
⇒ f = 0 + pq + p'q '+ 0
⇒ f = pq + p'q '
따라서 complement 부울 함수의 p'q + pq '는 pq + p’q’.