디지털 회로-표준 및 표준 양식
두 개의 변수 x와 y를 논리적 AND 연산과 결합하여 4 개의 부울 곱 용어를 얻습니다. 이러한 부울 제품 용어는min terms 또는 standard product terms. 최소 항은 x'y ', x'y, xy'및 xy입니다.
마찬가지로 두 개의 변수 x와 y를 논리 OR 연산과 결합하여 4 개의 부울 합계 항을 얻습니다. 이러한 부울 합계 용어는 다음과 같이 호출됩니다.Max terms 또는 standard sum terms. Max 항은 x + y, x + y ', x'+ y 및 x '+ y'입니다.
다음 표는 2 개의 변수에 대한 최소 항과 MAX 항의 표현을 보여줍니다.
| 엑스 | 와이 | 최소 기간 | 최대 용어 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | 남 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | 남 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | 남 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | 남 3 = x '+ y' |
이진 변수가 '0'이면 최소 항에서는 변수의 보수로, 최대 항에서는 변수 자체로 표시됩니다. 마찬가지로 이진 변수가 '1'이면 Max 항에서는 변수의 보수로, 최소 항에서는 변수 자체로 표시됩니다.
위의 표에서 min 항과 Max 항이 서로 보완되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 'n'부울 변수가있는 경우 2n 개의 최소 항과 2n 개의 최대 항이 있습니다.
표준 SoP 및 PoS 양식
진리표는 입력과 출력의 집합으로 구성됩니다. 'n'개의 입력 변수가 있으면 0과 1 이있는 2n 개의 가능한 조합이 있습니다. 따라서 각 출력 변수의 값은 입력 변수의 조합에 따라 다릅니다. 따라서 각 출력 변수는 일부 입력 변수 조합의 경우 '1'을, 다른 입력 변수 조합의 경우 '0'을 갖습니다.
따라서 각 출력 변수를 다음 두 가지 방법으로 표현할 수 있습니다.
- 표준 SoP 양식
- 정식 PoS 양식
표준 SoP 양식
Canonical SoP 양식은 Canonical Sum of Products 양식을 의미합니다. 이 양식에서 각 제품 용어에는 모든 리터럴이 포함됩니다. 따라서 이러한 제품 용어는 최소 용어 일뿐입니다. 따라서 표준 SoP 양식은sum of min terms 형태.
먼저 출력 변수가 1 인 최소 항을 식별 한 다음 해당 출력 변수에 해당하는 부울 표현식 (함수)을 얻기 위해 해당 최소 항의 논리 OR을 수행합니다. 이 부울 함수는 최소 항의 합계 형식입니다.
둘 이상의 출력 변수가있는 경우 다른 출력 변수에 대해서도 동일한 절차를 따르십시오.
예
다음을 고려하세요 truth table.
| 입력 | 산출 | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
여기서 출력 (f)은 4 개의 입력 조합에 대해 '1'입니다. 해당 최소 항은 p'qr, pq'r, pqr ', pqr입니다. 이 4 분 항의 논리 OR을 수행하면 출력 (f)의 부울 함수를 얻을 수 있습니다.
따라서 출력의 부울 함수는 f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr입니다. 이것이canonical SoP form출력, f. 다음 두 가지 표기법으로이 함수를 나타낼 수도 있습니다.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
한 방정식에서 우리는 함수를 각 최소 항의 합으로 표현했습니다. 다른 방정식에서 우리는 그 최소 항을 합산하기 위해 기호를 사용했습니다.
정식 PoS 양식
정식 PoS 형식은 합계의 정식 곱 형식을 의미합니다. 이 양식에서 각 합계 용어에는 모든 리터럴이 포함됩니다. 따라서이 합계 항은 Max 항일뿐입니다. 따라서 표준 PoS 형식은product of Max terms 형태.
먼저 출력 변수가 0 인 Max 항을 식별 한 다음 해당 출력 변수에 해당하는 부울 표현식 (함수)을 얻기 위해 해당 Max 항의 논리 AND를 수행합니다. 이 부울 함수는 Max 용어의 곱 형태입니다.
둘 이상의 출력 변수가있는 경우 다른 출력 변수에 대해서도 동일한 절차를 따르십시오.
Example
이전 예의 동일한 진리표를 고려하십시오. 여기서 출력 (f)은 4 개의 입력 조합에 대해 '0'입니다. 대응하는 Max 항은 p + q + r, p + q + r ', p + q'+ r, p '+ q + r입니다. 이 4 개의 Max 항에 대해 논리 AND를 수행하면 출력 (f)의 부울 함수를 얻을 수 있습니다.
따라서 출력의 부울 함수는 f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q'+ r). (p '+ q + r)입니다. 이것이canonical PoS form출력, f. 다음 두 가지 표기법으로이 함수를 나타낼 수도 있습니다.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ 왼쪽 (0,1,2,4 \ 오른쪽) $$
한 방정식에서 우리는 함수를 각 Max 항의 곱으로 표현했습니다. 다른 방정식에서 우리는 Max 항의 곱셈을 위해 기호를 사용했습니다.
부울 함수 f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q'+ r). (p '+ q + r)은 부울 함수 f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
따라서 표준 SoP 및 표준 PoS 양식은 모두 Dual서로에게. 기능적으로이 두 가지 형태는 동일합니다. 요구 사항에 따라이 두 가지 형식 중 하나를 사용할 수 있습니다.
표준 SoP 및 PoS 양식
부울 출력을 나타내는 두 가지 표준 형식에 대해 논의했습니다. 마찬가지로 부울 출력을 나타내는 두 가지 표준 형식이 있습니다. 이것은 표준 형식의 단순화 된 버전입니다.
- 표준 SoP 양식
- 표준 PoS 양식
이후 장에서 논리 게이트에 대해 설명합니다. 메인advantage표준 형식의 경우 논리 게이트에 적용되는 입력 수를 최소화 할 수 있습니다. 때로는 필요한 총 논리 게이트 수가 감소합니다.
표준 SoP 양식
표준 SoP 양식은 Standard Sum of Products형태. 이 양식에서 각 제품 용어는 모든 리터럴을 포함 할 필요는 없습니다. 따라서 제품 용어는 최소 용어 일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 따라서 표준 SoP 양식은 표준 SoP 양식의 단순화 된 양식입니다.
표준 SoP 형식의 출력 변수를 두 단계로 얻을 수 있습니다.
- 출력 변수의 표준 SoP 형식 가져 오기
- 표준 SoP 형식 인 위의 부울 함수를 단순화하십시오.
둘 이상의 출력 변수가있는 경우 다른 출력 변수에 대해서도 동일한 절차를 따르십시오. 때로는 표준 SoP 양식을 단순화하는 것이 불가능할 수 있습니다. 이 경우 표준 및 표준 SoP 양식은 모두 동일합니다.
Example
다음 부울 함수를 표준 SoP 형식으로 변환합니다.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
주어진 부울 함수는 표준 SoP 형식입니다. 이제 표준 SoP 형식을 얻기 위해이 부울 함수를 단순화해야합니다.
Step 1 − 사용 Boolean postulate, x + x = x. 즉, 부울 변수 'n'번을 사용한 논리적 OR 연산은 동일한 변수와 동일합니다. 따라서 마지막 용어 pqr을 두 번 더 쓸 수 있습니다.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 − 사용 Distributive law1 일 , 4 일 개 측면, 2 차 및 5 번째 측면, 3 번째 및 여섯 개 번째 관점.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q'+ q) + pq (r '+ r)
Step 3 − 사용 Boolean postulate, x + x '= 1은 각 괄호 안에있는 항을 단순화합니다.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 − 사용 Boolean postulate, x.1 = x는 위의 세 항을 단순화합니다.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
이것은 단순화 된 부울 함수입니다. 따라서standard SoP form 주어진 표준 SoP 양식에 해당하는 것은 f = pq + qr + pr
표준 PoS 양식
표준 PoS 양식은 Standard Product of Sums형태. 이 양식에서 각 합계 용어는 모든 리터럴을 포함 할 필요는 없습니다. 따라서 합계 항은 최대 항일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 따라서 표준 PoS 형식은 표준 PoS 형식의 단순화 된 형식입니다.
표준 PoS 형식의 출력 변수를 두 단계로 얻습니다.
- 출력 변수의 표준 PoS 형식 가져 오기
- 정식 PoS 형식 인 위의 부울 함수를 단순화합니다.
둘 이상의 출력 변수가있는 경우 다른 출력 변수에 대해서도 동일한 절차를 따르십시오. 때로는 정식 PoS 양식을 단순화하는 것이 불가능할 수 있습니다. 이 경우 표준 및 표준 PoS 양식은 모두 동일합니다.
Example
다음 부울 함수를 표준 PoS 형식으로 변환합니다.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q'+ r). (p '+ q + r)
주어진 부울 함수는 정식 PoS 형식입니다. 이제 표준 PoS 양식을 얻기 위해이 부울 함수를 단순화해야합니다.
Step 1 − 사용 Boolean postulate, xx = x. 즉, 부울 변수 'n'번을 사용한 논리적 AND 연산은 동일한 변수와 동일합니다. 따라서 첫 번째 항 p + q + r을 두 번 더 쓸 수 있습니다.
⇒ f = (p + q + r). (p + q + r). (p + q + r). (p + q + r '). (p + q'+ r). (p '+ q + r)
Step 2 − 사용 Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) : 첫 번째 및 네 번째 괄호, 두 번째 및 다섯 번째 괄호, 세 번째 및 여섯 번째 괄호.
⇒ f = (p + q + rr '). (p + r + qq'). (q + r + pp ')
Step 3 − 사용 Boolean postulate, x.x '= 0 (각 괄호 안에있는 용어를 단순화하기 위해).
⇒ f = (p + q + 0). (p + r + 0). (q + r + 0)
Step 4 − 사용 Boolean postulate, x + 0 = x : 각 괄호 안에있는 항을 단순화
⇒ f = (p + q). (p + r). (q + r)
⇒ f = (p + q). (q + r). (p + r)
이것은 단순화 된 부울 함수입니다. 따라서standard PoS form 주어진 표준 PoS 양식에 해당하는 것은 f = (p + q).(q + r).(p + r). 이것이dual 부울 함수의 f = pq + qr + pr.
따라서 표준 SoP 및 표준 PoS 양식은 모두 서로 이중입니다.