Wysokość i odległość - rozwiązane przykłady

Pytanie 1 - Z punktu oddalonego o 375 metrów od podstawy wieży wierzchołek wieży jest obserwowany pod kątem elewacji 45 °, a następnie wysokość (w metrach) wieży wynosi?

A - 375

B - 450

C - 225

D - 250

Answer - A

Explanation

From the right angled triangle
Tan(45°)=  X/375
=> X = 375 m

Q 2 - Kąt podniesienia wieży w punkcie 90 m od niej to łóżeczko ^-1 (4/5). Wtedy wysokość wieży jest

A - 45

B - 90

C - 112,5

D - 150

Answer - C

Explanation

Let cot^-1(4/5) = x 
=> cotx =  4/5   
=> tan(x) = 5/4   
From the right angled triangle
Tan(x) =  h/90 
=> h = 5/4*90 =112.5 m

Q 3 - Na poziomym podłożu kąt podniesienia szczytu wieży wynosi 30 °. Przy zbliżaniu się o 20 metrów kąt podniesienia wynosi 45 °. Wtedy wysokość wieży jest

A - 10

B - √3

C - 10√3

D - 20√3

Answer - C

Explanation

Let h be the height of tower
From figure.
20 =h (  cot30 - cot60)	
20 =h (√3-1/√3) 
=> 20√3 = h (3-1) 
=> h=10√3.

Q 4 - Kąty wzniesienia wierzchołków dwóch pionowych wież widziane ze środka linii łączących stopę wież wynoszą 45 ° i 60 °. Stosunek wysokości wież wynosi

A - √3: 2

B - √3: 1

C - 2: √3

D - 2: 1

Answer - B

Explanation

Tan(60)=h₁/AB
=> h1=√3AB
Tan(45)=h₁/BC
=> h2=BC
h1/ h2=√3/1
=> h1:h2=√3:1

Pytanie 5 - Wysokość dwóch wież wynosi 90 metrów i 45 metrów. Linia łącząca ich wierzchołki tworzy kąt 450 z poziomem, wtedy odległość między dwiema wieżami wynosi

A - 22,5 m

B - 45 m

C - 60 m

D - 30 m

Answer - B

Explanation

Let the distance between the towers be X 
From the right angled triangle CFD 
Tan(45)=  (90-45)/X   
=> x=45 meters

Q 6 - Z punktu P na poziomym terenie kąt podniesienia górnej wieży wynosi 60 °. Jeśli wieża ma 180 m wysokości, odległość punktu P od podnóża wieży wynosi

A - 60√3

B - 40√3

C - 30√3

D - 20√3

Answer - A

Explanation

From ∠APB = 60° and AB = 180 m.
AB/AP= tan 60° =√3
AP=AB/√3 =180/√3=60√3

Q 7 - Wierzchołek wieży o wysokości 25 metrów tworzy kąt elewacji 450 z dolną częścią słupa elektrycznego i kątem elewacji 30 stopni z wierzchołkiem słupa. Znajdź wysokość słupa elektrycznego.

A - 25√3

B - 25 ((√3-1) / √3)

C - 25 / √3

D - 25 ((1-√3) / √3)

Answer - B

Explanation

Let AB be the tower and CD be the electric pole. 
From the figure CA = DE
=> 25/(Tan(45))=(25-h)/(Tan(30))
=> 25  Tan(30) = 25-h
=> h=25-25Tan(30)
=25(1- Tan(30)) 
=25((√3-1)/√3)

Q 8 - Obserwator o wzroście 1,4 m znajduje się 10√3 od wieży. Kąt wzniesienia od jego oka do szczytu wieży wynosi 60 °. Wysokość wieży jest

A - 12,4 m

B - 6,2 m

C - 11,4√3 m

D - 11,4 m

Answer - D

Explanation

Let AB be the observer and CD be the tower.
Then, CE = AB = 1.4 m,
 BE = AC = 10v3 m.
DE/BE=Tan (30) =1/√3
DE=10√3/√3=10
CD=CE+DE=1.4+10=11.4 m

Q 9 - Mężczyzna patrzy ze szczytu wieży na łódź pędzącą z wieży. Łódź w odległości 75 metrów od wieży wykonuje kąt opuszczenia ok. 60 °. Po 10 sekundach kąt zagłębienia wynosi 45 °. Jaka jest przybliżona prędkość łodzi, zakładając, że porusza się po wodzie stojącej?

A - 54 km / h

B - 64 km / h

C - 24 km / h

D - 19,8 km / h

Answer - D

Explanation

Let AB be the tower and C and D be the positions of the boat.
Distance travelled by boat = CD
From the figure 75tan(60)=(75+CD)tan(45)
=>75√3 = 75+CD
=>CD =55 m
Speed = distance/time=55/10
=5.5 m/sec=19.8 kmph

Q 10 - Odległość w poziomie między dwiema wieżami wynosi 90 m. Kątowe zagłębienie wierzchołka pierwszego, widziane z góry drugiego, mającego 180 m wysokości, wynosi 450. Wtedy wysokość pierwszego wynosi

A - 90√3 m

B - 45 m

C - 90 m

D - 150 m

Answer - C

Explanation