Sistemas de Controle - Álgebra de Diagrama de Bloco
A álgebra do diagrama de blocos nada mais é do que a álgebra envolvida com os elementos básicos do diagrama de blocos. Esta álgebra trata da representação pictórica de equações algébricas.
Conexões básicas para blocos
Existem três tipos básicos de conexões entre dois blocos.
Ligação em série
A conexão em série também é chamada cascade connection. Na figura a seguir, dois blocos com funções de transferência $ G_1 (s) $ e $ G_2 (s) $ estão conectados em série.
Para esta combinação, obteremos a saída $ Y (s) $ como
$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$
Onde, $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $
$$ \ Rightarrow Y (s) = G_2 (s) [G_1 (s) X (s)] = G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$
$$ \ Rightarrow Y (s) = \ lbrace G_1 (s) G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
Compare esta equação com a forma padrão da equação de saída, $ Y (s) = G (s) X (s) $. Onde, $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.
Isso significa que podemos representar o series connectionde dois blocos com um único bloco. A função de transferência deste bloco único é oproduct of the transfer functionsdesses dois blocos. O diagrama de blocos equivalente é mostrado abaixo.
Da mesma forma, você pode representar a conexão em série de 'n' blocos com um único bloco. A função de transferência deste bloco único é o produto das funções de transferência de todos aqueles 'n' blocos.
Conexão Paralela
Os blocos que estão conectados em parallel terá o same input. Na figura a seguir, dois blocos com funções de transferência $ G_1 (s) $ e $ G_2 (s) $ estão conectados em paralelo. As saídas desses dois blocos são conectadas ao ponto de soma.
Para esta combinação, obteremos a saída $ Y (s) $ como
$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$
Onde, $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ e $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $
$$ \ Rightarrow Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = \ lbrace G_1 (s) + G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
Compare esta equação com a forma padrão da equação de saída, $ Y (s) = G (s) X (s) $.
Onde, $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.
Isso significa que podemos representar o parallel connectionde dois blocos com um único bloco. A função de transferência deste bloco único é osum of the transfer functionsdesses dois blocos. O diagrama de blocos equivalente é mostrado abaixo.
Da mesma forma, você pode representar a conexão paralela de 'n' blocos com um único bloco. A função de transferência deste bloco único é a soma algébrica das funções de transferência de todos aqueles 'n' blocos.
Conexão de Feedback
Como discutimos nos capítulos anteriores, existem dois tipos de feedback- feedback positivo e feedback negativo. A figura a seguir mostra o sistema de controle de feedback negativo. Aqui, dois blocos com funções de transferência $ G (s) $ e $ H (s) $ formam um loop fechado.
A saída do ponto de soma é -
$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$
A saída $ Y (s) $ é -
$$ Y (s) = E (s) G (s) $$
Substitua o valor $ E (s) $ na equação acima.
$$ Y (s) = \ left \ {X (s) -H (s) Y (s) \ rbrace G (s) \ right \} $$
$$ Y (s) \ left \ {1 + G (s) H (s) \ rbrace = X (s) G (s) \ right \} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$
Portanto, a função de transferência de malha fechada de feedback negativo é $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $
Isso significa que podemos representar a conexão de feedback negativo de dois blocos com um único bloco. A função de transferência deste bloco único é a função de transferência de malha fechada do feedback negativo. O diagrama de blocos equivalente é mostrado abaixo.
Da mesma forma, você pode representar a conexão de feedback positivo de dois blocos com um único bloco. A função de transferência deste bloco único é a função de transferência em malha fechada do feedback positivo, ou seja, $ \ frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $
Álgebra de Diagrama de Bloco para Soma de Pontos
Existem duas possibilidades de mudar os pontos de soma em relação aos blocos -
- Mudando o ponto de soma após o bloco
- Mudando o ponto de soma antes do bloco
Vejamos agora que tipo de arranjos precisam ser feitos nos dois casos acima, um por um.
Mudança do ponto de soma após o bloco
Considere o diagrama de blocos mostrado na figura a seguir. Aqui, o ponto de soma está presente antes do bloco.
O ponto de soma possui duas entradas $ R (s) $ e $ X (s) $. A saída dele é $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $.
Assim, a entrada para o bloco $ G (s) $ é $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $ e a saída dele é -
$$ Y (s) = G (s) \ esquerda \ {R (s) + X (s) \ direita \} $$
$ \ Rightarrow Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 1)
Agora, mude o ponto de soma após o bloco. Este diagrama de blocos é mostrado na figura a seguir.
A saída do bloco $ G (s) $ é $ G (s) R (s) $.
A saída do ponto de soma é
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 2)
Compare a Equação 1 e a Equação 2.
O primeiro termo $ 'G (s) R (s)' $ é o mesmo em ambas as equações. Mas, há diferença no segundo mandato. Para que o segundo termo também seja o mesmo, precisamos de mais um bloco $ G (s) $. Ele está tendo a entrada $ X (s) $ e a saída deste bloco é dada como entrada para o ponto de soma ao invés de $ X (s) $. Este diagrama de blocos é mostrado na figura a seguir.
Mudança do ponto de soma antes do bloco
Considere o diagrama de blocos mostrado na figura a seguir. Aqui, o ponto de soma está presente após o bloco.
A saída deste diagrama de blocos é -
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 3)
Agora, mude o ponto de soma antes do bloco. Este diagrama de blocos é mostrado na figura a seguir.
A saída deste diagrama de blocos é -
$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 4)
Compare a Equação 3 e a Equação 4,
O primeiro termo $ 'G (s) R (s)' $ é o mesmo em ambas as equações. Mas, há diferença no segundo mandato. Para que o segundo termo também seja o mesmo, precisamos de mais um bloco $ \ frac {1} {G (s)} $. Ele está tendo a entrada $ X (s) $ e a saída deste bloco é dada como entrada para o ponto de soma ao invés de $ X (s) $. Este diagrama de blocos é mostrado na figura a seguir.
Álgebra de diagrama de blocos para pontos de decolagem
Existem duas possibilidades de mudar os pontos de decolagem em relação aos blocos -
- Mudança do ponto de decolagem após o bloco
- Mudança do ponto de decolagem antes do bloco
Vamos agora ver que tipo de arranjos devem ser feitos nos dois casos acima, um por um.
Mudança de ponto de decolagem após o bloco
Considere o diagrama de blocos mostrado na figura a seguir. Neste caso, o ponto de decolagem está presente antes do bloco.
Aqui, $ X (s) = R (s) $ e $ Y (s) = G (s) R (s) $
Quando você muda o ponto de decolagem após o bloco, a saída $ Y (s) $ será a mesma. Porém, há diferença no valor de $ X (s) $. Portanto, para obter o mesmo valor de $ X (s) $, precisamos de mais um bloco $ \ frac {1} {G (s)} $. Está tendo a entrada $ Y (s) $ e a saída é $ X (s) $. Este diagrama de blocos é mostrado na figura a seguir.
Mudança de ponto de decolagem antes do bloco
Considere o diagrama de blocos mostrado na figura a seguir. Aqui, o ponto de decolagem está presente após o bloco.
Aqui, $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $
Quando você muda o ponto de decolagem antes do bloco, a saída $ Y (s) $ será a mesma. Porém, há diferença no valor de $ X (s) $. Portanto, para obter o mesmo valor de $ X (s) $, precisamos de mais um bloco $ G (s) $. Está tendo a entrada $ R (s) $ e a saída é $ X (s) $. Este diagrama de blocos é mostrado na figura a seguir.
