Sistemas de controle - Erros de estado estacionário
O desvio da saída do sistema de controle da resposta desejada durante o estado estacionário é conhecido como steady state error. É representado como $ e_ {ss} $. Podemos encontrar o erro de estado estacionário usando o teorema do valor final como segue.
$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ a \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ a 0} sE (s) $$
Onde,
E (s) é a transformada de Laplace do sinal de erro, $ e (t) $
Vamos discutir como encontrar erros de estado estacionário para sistemas de controle de feedback unitário e não-unitário, um por um.
Erros de estado estacionário para sistemas de realimentação da unidade
Considere o seguinte diagrama de blocos do sistema de controle de malha fechada, que está tendo feedback negativo unitário.
Onde,
- R (s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada de referência $ r (t) $
- C (s) é a transformada de Laplace do sinal de saída $ c (t) $
Conhecemos a função de transferência do sistema de controle de malha fechada de feedback negativo unitário como
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
A saída do ponto de soma é -
$$ E (s) = R (s) -C (s) $$
Substitua o valor $ C (s) $ na equação acima.
$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$
Substitua o valor $ E (s) $ na fórmula de erro de estado estacionário
$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ a 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$
A tabela a seguir mostra os erros de estado estacionário e as constantes de erro para sinais de entrada padrão como etapa da unidade, rampa da unidade e sinais parabólicos da unidade.
| Sinal de entrada | Erro de estado estacionário $ e_ {ss} $ | Constante de erro |
|---|---|---|
sinal de etapa da unidade |
$ \ frac {1} {1 + k_p} $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ a 0} G (s) $ |
sinal de rampa da unidade |
$ \ frac {1} {K_v} $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ a 0} sG (s) $ |
sinal parabólico unitário |
$ \ frac {1} {K_a} $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ a 0} s ^ 2G (s) $ |
Onde, $ K_p $, $ K_v $ e $ K_a $ são constantes de erro de posição, constante de erro de velocidade e constante de erro de aceleração, respectivamente.
Note - Se algum dos sinais de entrada acima tiver amplitude diferente da unidade, multiplique o erro de estado estacionário correspondente por essa amplitude.
Note- Não podemos definir o erro de regime permanente para o sinal de impulso da unidade porque ele existe apenas na origem. Portanto, não podemos comparar a resposta ao impulso com a entrada de impulso da unidade comot denota infinito.
Exemplo
Vamos encontrar o erro de regime permanente para um sinal de entrada $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ do sistema de controle de feedback negativo unitário com $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $
O sinal de entrada fornecido é uma combinação de três passos de sinais, rampa e parabólico. A tabela a seguir mostra as constantes de erro e os valores de erro de estado estacionário para esses três sinais.
| Sinal de entrada | Constante de erro | Erro de estado estacionário |
|---|---|---|
$ r_1 (t) = 5u (t) $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $ |
$ r_2 (t) = 2tu (t) $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $ |
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $ |
$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $ |
Obteremos o erro geral de estado estável, adicionando os três erros de estado estável acima.
$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$
$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$
Portanto, temos o erro de estado estacionário $ e_ {ss} $ como 1 para este exemplo.
Erros de estado estacionário para sistemas de realimentação sem unidade
Considere o seguinte diagrama de blocos do sistema de controle de malha fechada, que está tendo feedback negativo de não unidade.
Podemos encontrar os erros de estado estacionário apenas para os sistemas de realimentação da unidade. Portanto, temos que converter o sistema de feedback não unitário em sistema de feedback unitário. Para isso, inclua um caminho de feedback positivo unitário e um caminho de feedback negativo unitário no diagrama de blocos acima. O novo diagrama de blocos se parece com o mostrado abaixo.
Simplifique o diagrama de blocos acima, mantendo o feedback negativo da unidade como está. A seguir está o diagrama de blocos simplificado.
Este diagrama de blocos se assemelha ao diagrama de blocos do sistema de controle de malha fechada de feedback negativo unitário. Aqui, o bloco único tem a função de transferência $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ em vez de $ G (s) $. Agora você pode calcular os erros de estado estacionário usando a fórmula de erro de estado estacionário fornecida para os sistemas de feedback negativo unitário.
Note- Não faz sentido encontrar os erros de estado estacionário para sistemas de malha fechada instáveis. Portanto, temos que calcular os erros de estado estacionário apenas para sistemas estáveis em malha fechada. Isso significa que precisamos verificar se o sistema de controle está estável ou não antes de encontrar os erros de estado estacionário. No próximo capítulo, discutiremos a estabilidade relacionada aos conceitos.