Resposta do Sistema de Segunda Ordem

Neste capítulo, vamos discutir o tempo de resposta do sistema de segunda ordem. Considere o seguinte diagrama de blocos do sistema de controle de malha fechada. Aqui, uma função de transferência de malha aberta, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ está conectada com um feedback negativo unitário.

Sabemos que a função de transferência do sistema de controle de malha fechada tendo feedback negativo unitário como

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Substitua, $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ na equação acima.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

O poder de 's' é dois no termo denominador. Portanto, a função de transferência acima é de segunda ordem e o sistema é chamado desecond order system.

A equação característica é -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

As raízes da equação característica são -

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$

$$ \ Rightarrow s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

• As duas raízes são imaginárias quando δ = 0.
• As duas raízes são reais e iguais quando δ = 1.
• As duas raízes são reais, mas não iguais quando δ> 1.
• As duas raízes são conjugadas complexas quando 0 <δ <1.

Podemos escrever $ C (s) $ equação como,

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Onde,

• C(s) é a transformada de Laplace do sinal de saída, c (t)

• R(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada, r (t)

• ω_n é a frequência natural

• δ é a taxa de amortecimento.

Siga estas etapas para obter a resposta (saída) do sistema de segunda ordem no domínio do tempo.

• Pegue a transformada de Laplace do sinal de entrada, $ r (t) $.

• Considere a equação, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $

• Substitua o valor $ R (s) $ na equação acima.

• Faça frações parciais de $ C (s) $ se necessário.

• Aplique a transformação inversa de Laplace a $ C (s) $.

Resposta ao Passo do Sistema de Segunda Ordem

Considere o sinal de etapa da unidade como uma entrada para o sistema de segunda ordem.

A transformada de Laplace do sinal de passo unitário é,

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Sabemos que a função de transferência do sistema de controle de malha fechada de segunda ordem é,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Caso 1: δ = 0

Substitua, $ \ delta = 0 $ na função de transferência.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Substitua, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ na equação acima.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ ômega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$

Assim, a resposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem quando $ / delta = 0 $ será um sinal de tempo contínuo com amplitude e frequência constantes.

Caso 2: δ = 1

Substitua, $ / delta = 1 $ na função de transferência.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$

Substitua, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ na equação acima.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$

Faça frações parciais de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Após simplificar, você obterá os valores de A, B e C como $ 1, \: -1 \: e \: - \ omega _n $ respectivamente. Substitua esses valores na expansão de fração parcial acima de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ c (t) = (1-e ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $$

Assim, a resposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem tentará alcançar a entrada degrau em estado estacionário.

Caso 3: 0 <δ <1

Podemos modificar o termo do denominador da função de transferência da seguinte forma -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$

A função de transferência torna-se,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$

Substitua, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ na equação acima.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ $

Faça frações parciais de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

Depois de simplificar, você obterá os valores de A, B e C como $ 1, \: -1 \: e \: −2 \ delta \ omega _n $ respectivamente. Substitua esses valores na expansão da fração parcial de C (s) acima.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} - \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $

Substitua $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $ como $ \ omega_d $ na equação acima.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$

Se $ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $, então 'δ' será cos (θ). Substitua esses valores na equação acima.

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $$

$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ right) u (t) $$

Assim, a resposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem está tendo oscilações amortecidas (amplitude decrescente) quando 'δ' está entre zero e um.

Caso 4: δ> 1

Podemos modificar o termo do denominador da função de transferência da seguinte forma -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = \ left (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left (\ delta ^ 2-1 \ right) $$

A função de transferência torna-se,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$

Substitua, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ na equação acima.

$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $

Faça frações parciais de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

Depois de simplificar, você obterá os valores de A, B e C como 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ e $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ respectivamente. Substitua esses valores na expansão de fração parcial acima de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$ c (t) = \ left (1+ \ left (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $

Como está superamortecida, a resposta unitária ao degrau do sistema de segunda ordem quando δ> 1 nunca alcançará a entrada degrau no estado estacionário.

Resposta ao impulso do sistema de segunda ordem

o impulse response do sistema de segunda ordem pode ser obtido usando qualquer um desses dois métodos.

• Siga o procedimento envolvido enquanto deriva a resposta ao degrau, considerando o valor de $ R (s) $ como 1 em vez de $ \ frac {1} {s} $.

• Faça a diferenciação da resposta ao degrau.

A tabela a seguir mostra a resposta ao impulso do sistema de segunda ordem para 4 casos da razão de amortecimento.

Razão de condição de amortecimento	Resposta ao impulso para t ≥ 0
δ = 0	$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $
δ = 1	$ \ omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $
0 <δ <1	$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $
δ> 1	$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $