Sistemas de Controle - Modelos Matemáticos
Os sistemas de controle podem ser representados por um conjunto de equações matemáticas conhecidas como mathematical model. Esses modelos são úteis para análise e projeto de sistemas de controle. A análise do sistema de controle significa encontrar a saída quando conhecemos a entrada e o modelo matemático. O projeto do sistema de controle significa encontrar o modelo matemático quando sabemos a entrada e a saída.
Os seguintes modelos matemáticos são usados principalmente.
- Modelo de equação diferencial
- Modelo de função de transferência
- Modelo de espaço de estado
Vamos discutir os primeiros dois modelos neste capítulo.
Modelo de Equação Diferencial
O modelo de equação diferencial é um modelo matemático de sistemas de controle no domínio do tempo. Siga estas etapas para o modelo de equação diferencial.
Aplique as leis básicas ao sistema de controle fornecido.
Obtenha a equação diferencial em termos de entrada e saída, eliminando as variáveis intermediárias.
Exemplo
Considere o seguinte sistema elétrico, conforme mostrado na figura a seguir. Este circuito consiste em resistor, indutor e capacitor. Todos esses elementos elétricos estão conectados emseries. A tensão de entrada aplicada a este circuito é $ v_i $ e a tensão no capacitor é a tensão de saída $ v_o $.
A equação de malha para este circuito é
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Substitua a corrente passando pelo capacitor $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ na equação acima.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
A equação acima é de segunda ordem differential equation.
Modelo de Função de Transferência
O modelo de função de transferência é um modelo matemático de domínio s de sistemas de controle. oTransfer function de um sistema Linear Time Invariant (LTI) é definido como a razão da transformação de Laplace de saída e da transformação de Laplace de entrada, assumindo que todas as condições iniciais são zero.
Se $ x (t) $ e $ y (t) $ são a entrada e a saída de um sistema LTI, então as transformações de Laplace correspondentes são $ X (s) $ e $ Y (s) $.
Portanto, a função de transferência do sistema LTI é igual à razão de $ Y (s) $ e $ X (s) $.
$$ ie, \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
O modelo da função de transferência de um sistema LTI é mostrado na figura a seguir.
Aqui, representamos um sistema LTI com um bloco com função de transferência dentro dele. E este bloco tem uma entrada $ X (s) $ e uma saída $ Y (s) $.
Exemplo
Anteriormente, obtivemos a equação diferencial de um sistema elétrico como
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ texto {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Aplique a transformação de Laplace em ambos os lados.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Onde,
$ v_i (s) $ é a transformada de Laplace da tensão de entrada $ v_i $
$ v_o (s) $ é a transformada de Laplace da tensão de saída $ v_o $
A equação acima é um transfer functiondo sistema elétrico de segunda ordem. O modelo da função de transferência deste sistema é mostrado abaixo.
Aqui, mostramos um sistema elétrico de segunda ordem com um bloco que possui a função de transferência dentro dele. E este bloco tem uma entrada $ V_i (s) $ e uma saída $ V_o (s) $.