Sistemas de Controle - Análise de Estabilidade
Neste capítulo, vamos discutir a análise de estabilidade no ‘s’domínio usando o critério de estabilidade de RouthHurwitz. Neste critério, exigimos a equação característica para encontrar a estabilidade dos sistemas de controle de malha fechada.
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é ter uma condição necessária e uma condição suficiente para estabilidade. Se algum sistema de controle não satisfizer a condição necessária, podemos dizer que o sistema de controle é instável. Mas, se o sistema de controle satisfizer a condição necessária, ele pode ou não ser estável. Portanto, a condição suficiente é útil para saber se o sistema de controle está estável ou não.
Condição necessária para estabilidade de Routh-Hurwitz
A condição necessária é que os coeficientes do polinômio característico sejam positivos. Isso implica que todas as raízes da equação característica devem ter partes reais negativas.
Considere a equação característica da ordem 'n' é -
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$
Observe que não deve haver nenhum termo faltando no nthequação característica de ordem. Isso significa que onth a equação característica de ordem não deve ter nenhum coeficiente de valor zero.
Condição suficiente para estabilidade de Routh-Hurwitz
A condição suficiente é que todos os elementos da primeira coluna do array Routh tenham o mesmo sinal. Isso significa que todos os elementos da primeira coluna da matriz Routh devem ser positivos ou negativos.
Método Routh Array
Se todas as raízes da equação característica existirem na metade esquerda do plano 's', então o sistema de controle é estável. Se pelo menos uma raiz da equação característica existir na metade direita do plano 's', então o sistema de controle é instável. Portanto, temos que encontrar as raízes da equação característica para saber se o sistema de controle é estável ou instável. Porém, é difícil encontrar as raízes da equação característica à medida que a ordem aumenta.
Então, para superar esse problema, temos o Routh array method. Neste método, não há necessidade de calcular as raízes da equação característica. Primeiro, formule a tabela Routh e encontre o número das mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh fornece o número de raízes da equação característica que existe na metade direita do plano 's' e o sistema de controle é instável.
Siga este procedimento para formar a mesa Routh.
Preencha as duas primeiras linhas da matriz Routh com os coeficientes do polinômio característico conforme mencionado na tabela abaixo. Comece com o coeficiente de $ s ^ n $ e continue até o coeficiente de $ s ^ 0 $.
Preencha as linhas restantes do array Routh com os elementos mencionados na tabela abaixo. Continue este processo até obter o primeiro elemento de coluna derow $s^0$é $ a_n $. Aqui, $ a_n $ é o coeficiente de $ s ^ 0 $ no polinômio característico.
Note - Se algum elemento de linha da tabela Routh tiver algum fator em comum, você pode dividir os elementos de linha com esse fator, pois a simplificação será fácil.
A tabela seguinte mostra a matriz Routh do n th ordem polinomial característica.
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$
$ s ^ n $ |
$ a_0 $ |
$ a_2 $ |
$ a_4 $ |
$ a_6 $ |
... |
... |
$ s ^ {n-1} $ |
$ a_1 $ |
$ a_3 $ |
$ a_5 $ |
$ a_7 $ |
... |
... |
$ s ^ {n-2} $ |
$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $ |
$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $ |
$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $ |
... |
... |
... |
$ s ^ {n-3} $ |
$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $ |
$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $ |
$ \ vdots $ |
|||
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
|||
$ s ^ 1 $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
||||
$ s ^ 0 $ |
$ a_n $ |
Example
Vamos encontrar a estabilidade do sistema de controle com equação característica,
$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
Step 1 - Verifique as condições necessárias para a estabilidade de Routh-Hurwitz.
Todos os coeficientes do polinômio característico, $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ são positivos. Assim, o sistema de controle satisfaz as condições necessárias.
Step 2 - Forme a matriz Routh para o polinômio característico fornecido.
$ s ^ 4 $ |
$ 1 $ |
$ 3 $ |
$ 1 $ |
$ s ^ 3 $ |
$ 3 $ |
$ 2 $ |
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(3 \ vezes 3) - (2 \ vezes 1)} {3} = \ frac {7} {3} $ |
$ \ frac {(3 \ vezes 1) - (0 \ vezes 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ vezes 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $ |
||
$ s ^ 0 $ |
$ 1 $ |
Step 3 - Verifique as condições suficientes para a estabilidade de Routh-Hurwitz.
Todos os elementos da primeira coluna da matriz Routh são positivos. Não há mudança de sinal na primeira coluna da matriz Routh. Portanto, o sistema de controle é estável.
Casos Especiais de Matriz Routh
Podemos nos deparar com dois tipos de situações, durante a formação da mesa Routh. É difícil completar a tabela Routh nessas duas situações.
Os dois casos especiais são -
- O primeiro elemento de qualquer linha da matriz Routh é zero.
- Todos os elementos de qualquer linha da matriz Routh são zero.
Vamos agora discutir como superar a dificuldade nesses dois casos, um por um.
O primeiro elemento de qualquer linha da matriz Routh é zero
Se qualquer linha da matriz Routh contiver apenas o primeiro elemento como zero e pelo menos um dos elementos restantes tiver valor diferente de zero, substitua o primeiro elemento por um pequeno inteiro positivo, $ \ epsilon $. E então continue o processo de completar a tabela Routh. Agora, encontre o número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh, substituindo $ \ epsilon $ tende a zero.
Example
Vamos encontrar a estabilidade do sistema de controle com equação característica,
$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
Step 1 - Verifique as condições necessárias para a estabilidade de Routh-Hurwitz.
Todos os coeficientes do polinômio característico, $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ são positivos. Portanto, o sistema de controle satisfez a condição necessária.
Step 2 - Forme a matriz Routh para o polinômio característico fornecido.
$ s ^ 4 $ |
$ 1 $ |
$ 1 $ |
$ 1 $ |
$ s ^ 3 $ |
|
|
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(1 \ vezes 1) - (1 \ vezes 1)} {1} = 0 $ |
$ \ frac {(1 \ vezes 1) - (0 \ vezes 1)} {1} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
|||
$ s ^ 0 $ |
Os elementos da linha $ s ^ 3 $ têm 2 como fator comum. Portanto, todos esses elementos são divididos por 2.
Special case (i)- Apenas o primeiro elemento da linha $ s ^ 2 $ é zero. Portanto, substitua-o por $ \ epsilon $ e continue o processo de preenchimento da tabela Routh.
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
1 |
1 |
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ epsilon $ |
1 |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Step 3 - Verifique as condições suficientes para a estabilidade de Routh-Hurwitz.
Como $ \ epsilon $ tende a zero, a tabela Routh fica assim.
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
1 |
1 |
|
$ s ^ 2 $ |
0 |
1 |
|
$ s ^ 1 $ |
-∞ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Existem duas mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh. Conseqüentemente, o sistema de controle é instável.
Todos os elementos de qualquer linha da matriz Routh são zero
Nesse caso, siga estas duas etapas -
Escreva a equação auxiliar, A (s) da linha, que está logo acima da linha de zeros.
Diferencie a equação auxiliar, A (s) em relação a s. Preencha a linha de zeros com esses coeficientes.
Example
Vamos encontrar a estabilidade do sistema de controle com equação característica,
$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$
Step 1 - Verifique as condições necessárias para a estabilidade de Routh-Hurwitz.
Todos os coeficientes do polinômio característico dado são positivos. Portanto, o sistema de controle satisfez a condição necessária.
Step 2 - Forme a matriz Routh para o polinômio característico fornecido.
$ s ^ 5 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 4 $ |
|
|
|
$ s ^ 3 $ |
$ \ frac {(1 \ vezes 1) - (1 \ vezes 1)} {1} = 0 $ |
$ \ frac {(1 \ vezes 1) - (1 \ vezes 1)} {1} = 0 $ |
|
$ s ^ 2 $ |
|||
$ s ^ 1 $ |
|||
$ s ^ 0 $ |
Os elementos da linha $ s ^ 4 $ têm o fator comum de 3. Portanto, todos esses elementos são divididos por 3.
Special case (ii)- Todos os elementos da linha $ s ^ 3 $ são zero. Então, escreva a equação auxiliar, A (s) da linha $ s ^ 4 $.
$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$
Diferencie a equação acima em relação a s.
$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$
Coloque esses coeficientes na linha $ s ^ 3 $.
$ s ^ 5 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
|
|
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(2 \ vezes 1) - (1 \ vezes 1)} {2} = 0,5 $ |
$ \ frac {(2 \ vezes 1) - (0 \ vezes 1)} {2} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {(0,5 \ vezes 1) - (1 \ vezes 2)} {0,5} = \ frac {-1,5} {0,5} = - 3 $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Step 3 - Verifique as condições suficientes para a estabilidade de Routh-Hurwitz.
Existem duas mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh. Conseqüentemente, o sistema de controle é instável.
No critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, podemos saber se os pólos de malha fechada estão na metade esquerda do plano 's' ou na metade direita do plano 's' ou em um eixo imaginário. Portanto, não podemos encontrar a natureza do sistema de controle. Para superar essa limitação, existe uma técnica conhecida como locus da raiz. Discutiremos essa técnica nos próximos dois capítulos.