Fórmula de ganho de Mason
Vamos agora discutir a fórmula de ganho de Mason. Suponha que haja 'N' caminhos diretos em um gráfico de fluxo de sinal. O ganho entre os nós de entrada e saída de um gráfico de fluxo de sinal nada mais é do quetransfer functiondo sistema. Ele pode ser calculado usando a fórmula de ganho de Mason.
Mason’s gain formula is
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
Onde,
C(s) é o nó de saída
R(s) é o nó de entrada
T é a função de transferência ou ganho entre $ R (s) $ e $ C (s) $
Pié o iº ganho do caminho para a frente
$ \ Delta = 1- (soma \: de \: todos \: individual \: loop \: ganhos) $
$ + (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: dois \: sem toque \: loops) $
$$ - (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: três \: não tocando \: loops) + ... $$
Δ i é obtido de Δ removendo os loops que estão tocando o i ésimo caminho de ida .
Considere o seguinte gráfico de fluxo de sinal para entender a terminologia básica envolvida aqui.
Caminho
É uma travessia de ramos de um nó para qualquer outro nó na direção das setas do ramo. Ele não deve atravessar nenhum nó mais de uma vez.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ e $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $
Caminho para frente
O caminho que existe do nó de entrada para o nó de saída é conhecido como forward path.
Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Ganho de caminho para frente
É obtido calculando o produto de todos os ganhos de ramificação do caminho de ida.
Examples - $ abcde $ é o ganho do caminho de avanço de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e abge é o ganho do caminho de avanço de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Ciclo
O caminho que começa em um nó e termina no mesmo nó é conhecido como loop. Portanto, é um caminho fechado.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Loop Gain
É obtido calculando o produto de todos os ganhos de ramificação de um loop.
Examples - $ b_j $ é o ganho de loop de $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ g_h $ é o ganho de loop de $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Loops sem toque
Esses são os loops, que não devem ter nenhum nó comum.
Examples - Os loops, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ não se tocam.
Cálculo da função de transferência usando a fórmula de ganho de Mason
Vamos considerar o mesmo gráfico de fluxo de sinal para encontrar a função de transferência.
Número de caminhos diretos, N = 2.
O primeiro caminho de avanço é - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Primeiro ganho de caminho de ida, $ p_1 = abcde $.
O segundo caminho de encaminhamento é - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Ganho do segundo caminho de ida, $ p_2 = abge $.
Número de loops individuais, L = 5.
Os loops são - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ e $ y_5 \ rightarrow y_4 $ y_5 $.
Os ganhos do loop são - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ e $ l_5 = f $.
Número de dois loops sem contato = 2.
O primeiro par de loops não tocantes é - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.
Produto de ganho do primeiro par de loops não tocantes, $ l_1l_4 = bjdi $
O segundo par de loops sem contato é - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
O produto de ganho do segundo par de loops não tocantes é - $ l_1l_5 = bjf $
Um número maior de (mais de dois) loops sem contato não está presente neste gráfico de fluxo de sinal.
Nós sabemos,
$ \ Delta = 1- (soma \: de \: todos \: individual \: loop \: ganhos) $
$ + (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: dois \: sem toque \: loops) $
$$ - (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: três \: não tocando \: loops) + ... $$
Substitua os valores na equação acima,
$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $
$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $
Não há nenhum loop que não toque no primeiro caminho de avanço.
Portanto, $ \ Delta_1 = 1 $.
Da mesma forma, $ \ Delta_2 = 1 $. Uma vez que, nenhum loop que não toque o segundo caminho de avanço.
Substitua, N = 2 na fórmula de ganho de Mason
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$
Substitua todos os valores necessários na equação acima.
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
Portanto, a função de transferência é -
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $