Construção do Locus Raiz

o root locusé uma representação gráfica no domínio s e é simétrica em relação ao eixo real. Porque os pólos e zeros de loop aberto existem no domínio s tendo os valores como pares reais ou como pares conjugados complexos. Neste capítulo, vamos discutir como construir (desenhar) o local da raiz.

Regras para construção de locus raiz

Siga estas regras para construir um lugar geométrico da raiz.

Rule 1 - Localize os pólos e zeros de loop aberto no plano 's'.

Rule 2 - Encontre o número de ramos do local da raiz.

Sabemos que as ramificações do local da raiz começam nos pólos do circuito aberto e terminam nos zeros do circuito aberto. Então, o número de ramos do locus da raizN é igual ao número de pólos de malha aberta finitos P ou o número de zeros de loop aberto finito Z, o que for maior.

Matematicamente, podemos escrever o número de ramos do locus raiz N Como

$ N = P $ se $ P \ geq Z $

$ N = Z $ se $ P <Z $

Rule 3 - Identificar e desenhar o real axis root locus branches.

Se o ângulo da função de transferência de malha aberta em um ponto for um múltiplo ímpar de 180 ⁰ , então esse ponto está no lugar geométrico da raiz. Se houver um número ímpar de pólos e zeros de loop aberto à esquerda de um ponto no eixo real, então esse ponto está no ramo do lugar geométrico da raiz. Portanto, o ramo de pontos que satisfaz essa condição é o eixo real do ramo do local da raiz.

Rule 4 - Encontre o centroide e o ângulo das assíntotas.

Se $ P = Z $, então todas as ramificações do lugar geométrico da raiz começam em pólos finitos de malha aberta e terminam em zeros de malha aberta finitos.
Se $ P> Z $, então $ Z $ número de ramos do lugar da raiz começa em pólos de laço aberto finito e termina em zeros de laço aberto finito e $ P - Z $ número de ramos do lugar da raiz começa em pólos de laço aberto finito e termina em infinito zeros de loop aberto.
Se $ P <Z $, então o número P de ramos do lugar da raiz começa em pólos de laço aberto finito e termina em zeros de laço aberto finito e $ Z - P $ número de ramos do lugar da raiz começa em pólos de laço aberto infinito e termina em laço aberto finito zeros.

Portanto, alguns dos ramos do locus raiz se aproximam do infinito, quando $ P \ neq Z $. As assíntotas fornecem a direção desses ramos do locus da raiz. O ponto de intersecção das assíntotas no eixo real é conhecido comocentroid.

Podemos calcular o centroid α usando esta fórmula,

$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: parte \: de \: finito \: aberto \: loop \: pólos \: - \ sum Real \: parte \: de \: finito \: aberto \: loop \ : zeros} {PZ} $

A fórmula para o ângulo de asymptotes θ é

$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$

Onde,

$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$

Rule 5 - Encontre os pontos de intersecção dos ramos do lugar da raiz com um eixo imaginário.

Podemos calcular o ponto em que o ramo do lugar geométrico da raiz intersecta o eixo imaginário e o valor de K nesse ponto, usando o método de array Routh e case (ii).

Se todos os elementos de qualquer linha da matriz Routh forem zero, a ramificação do local da raiz intercepta o eixo imaginário e vice-versa.
Identifique a linha de forma que, se definirmos o primeiro elemento como zero, os elementos de toda a linha serão zero. Encontre o valor deK para esta combinação.
Substitua isto Kvalor na equação auxiliar. Você obterá o ponto de interseção do ramo do lugar geométrico da raiz com um eixo imaginário.

Rule 6 - Encontre pontos de break-away e break-in.

Se houver um ramo real do locus da raiz do eixo entre dois pólos de malha aberta, então haverá um break-away point entre esses dois pólos de malha aberta.
Se houver um ramo real do locus da raiz do eixo entre dois zeros de loop aberto, então haverá um break-in point entre esses dois zeros de loop aberto.

Note - Os pontos de ruptura e de abertura existem apenas nos ramos reais do lugar central da raiz do eixo.

Siga estas etapas para localizar os pontos de quebra e quebra.

Escreva $ K $ em termos de $ s $ a partir da equação característica $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.
Diferencie $ K $ em relação a se torne igual a zero. Substitua esses valores de $ s $ na equação acima.
Os valores de $ s $ para os quais o valor de $ K $ é positivo são os break points.

Rule 7 - Encontre o ângulo de partida e o ângulo de chegada.

O ângulo de partida e o ângulo de chegada podem ser calculados em pólos de malha aberta de conjugado complexo e zeros de malha aberta de conjugado complexo, respectivamente.

A fórmula para o angle of departure $ \ phi_d $ é

$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$

A fórmula para o angle of arrival $ \ phi_a $ é

$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$

Onde,

$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$

Exemplo

Vamos agora desenhar o lugar geométrico da raiz do sistema de controle com função de transferência em malha aberta, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $

Step 1- A função de transferência em malha aberta dada tem três pólos em $ s = 0, s = −1 $ e $ s = −5 $. Não tem nenhum zero. Portanto, o número de ramos do local da raiz é igual ao número de pólos da função de transferência em malha aberta.

$$ N = P = 3 $$

Os três pólos localizados são mostrados na figura acima. O segmento de reta entre $ s = −1 $ e $ s = 0 $ é uma ramificação do lugar geométrico da raiz. E a outra ramificação do lugar geométrico da raiz no eixo real é o segmento de linha à esquerda de $ s = −5 $.

Step 2 - Obteremos os valores do centróide e o ângulo das assíntotas usando as fórmulas fornecidas.

Centroid $ \ alpha = −2 $

O ângulo das assíntotas é $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ e $ 300 ^ 0 $.

O centróide e três assíntotas são mostrados na figura a seguir.

Step 3- Como duas assíntotas têm ângulos de $ 60 ^ 0 $ e $ 300 ^ 0 $, duas ramificações do lugar geométrico da raiz cruzam o eixo imaginário. Usando o método de array Routh e o caso especial (ii), os ramos do lugar geométrico da raiz cruzam o eixo imaginário em $ j \ sqrt {5} $ e $ −j \ sqrt {5} $.

Haverá um ponto de ruptura no ramo real da raiz do eixo entre os pólos $ s = −1 $ e $ s = 0 $. Seguindo o procedimento fornecido para o cálculo do ponto de ruptura, o obteremos como $ s = −0,473 $.

O diagrama do local da raiz para o sistema de controle fornecido é mostrado na figura a seguir.

Desta forma, você pode desenhar o diagrama do local da raiz de qualquer sistema de controle e observar o movimento dos pólos da função de transferência em malha fechada.

A partir dos diagramas de localização das raízes, podemos saber a faixa de valores de K para diferentes tipos de amortecimento.

Efeitos da adição de pólos e zeros de malha aberta no lugar da raiz

O locus da raiz pode ser deslocado em ‘s’ plane adicionando os pólos de loop aberto e os zeros de loop aberto.

Se incluirmos um pólo na função de transferência de malha aberta, alguns dos ramos do local da raiz se moverão em direção à metade direita do plano 's'. Por causa disso, a taxa de amortecimento $ \ delta $ diminui. O que implica que a frequência amortecida $ \ omega_d $ aumenta e as especificações do domínio de tempo, como o tempo de atraso $ t_d $, o tempo de subida $ t_r $ e o tempo de pico $ t_p $ diminuem. Porém, isso afeta a estabilidade do sistema.
Se incluirmos um zero na função de transferência de malha aberta, então alguns dos ramos do lugar geométrico da raiz se moverão para a metade esquerda do plano 's'. Assim, aumentará a estabilidade do sistema de controle. Nesse caso, a taxa de amortecimento $ \ delta $ aumenta. O que implica que a frequência amortecida $ \ omega_d $ diminui e as especificações do domínio do tempo, como o tempo de atraso $ t_d $, o tempo de subida $ t_r $ e o tempo de pico $ t_p $, aumentam.

Portanto, com base no requisito, podemos incluir (adicionar) os pólos ou zeros de malha aberta à função de transferência.