Sistemas de Controle - Modelo de Espaço de Estado
o state space model do sistema linear invariante no tempo (LTI) pode ser representado como,
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
A primeira e a segunda equações são conhecidas como equação de estado e equação de saída, respectivamente.
Onde,
X e $ \ dot {X} $ são o vetor de estado e o vetor de estado diferencial, respectivamente.
U e Y são vetores de entrada e de saída, respectivamente.
A é a matriz do sistema.
B e C são as matrizes de entrada e saída.
D é a matriz feed-forward.
Conceitos básicos de modelo de espaço de estado
A seguinte terminologia básica envolvida neste capítulo.
Estado
É um grupo de variáveis, que resume a história do sistema para prever os valores (outputs) futuros.
Estado variável
O número de variáveis de estado necessárias é igual ao número de elementos de armazenamento presentes no sistema.
Examples - corrente fluindo através do indutor, tensão através do capacitor
Vetor de estado
É um vetor que contém as variáveis de estado como elementos.
Nos capítulos anteriores, discutimos dois modelos matemáticos dos sistemas de controle. Esses são o modelo de equação diferencial e o modelo de função de transferência. O modelo de espaço de estados pode ser obtido a partir de qualquer um desses dois modelos matemáticos. Vamos agora discutir esses dois métodos um por um.
Modelo de espaço de estado da equação diferencial
Considere a seguinte série do circuito RLC. Ele tem uma tensão de entrada, $ v_i (t) $ e a corrente fluindo através do circuito é $ i (t) $.
Existem dois elementos de armazenamento (indutor e capacitor) neste circuito. Portanto, o número de variáveis de estado é igual a dois e essas variáveis de estado são a corrente fluindo pelo indutor, $ i (t) $ e a tensão no capacitor, $ v_c (t) $.
Do circuito, a tensão de saída, $ v_0 (t) $ é igual à tensão no capacitor, $ v_c (t) $.
$$ v_0 (t) = v_c (t) $$
Aplique KVL ao redor do loop.
$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$
A tensão no capacitor é -
$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$
Diferencie a equação acima em relação ao tempo.
$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$
Vetor de estado, $ X = \ begin {bmatriz} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $
Vetor de estado diferencial, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $
Podemos organizar as equações diferenciais e a equação de saída na forma padrão do modelo de espaço de estado como,
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$
Onde,
$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: e \: D = \ begin {bmatrix} } 0 \ end {bmatrix} $$
Modelo de espaço de estado da função de transferência
Considere os dois tipos de funções de transferência com base no tipo de termos presentes no numerador.
- Função de transferência com termo constante no Numerador.
- Função de transferência com função polinomial de 's' no Numerador.
Função de transferência com termo constante no Numerador
Considere a seguinte função de transferência de um sistema
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $
Reorganize, a equação acima como
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$
Deixei
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ ponto {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ ponto {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ ponto {x} _n $$
e $ u (t) = u $
Então,
$$ \ ponto {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$
A partir da equação acima, podemos escrever a seguinte equação de estado.
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$
A equação de saída é -
$$ y (t) = y = x_1 $$
O modelo de espaço de estado é -
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Aqui, $ D = \ left [0 \ right]. $
Exemplo
Encontre o modelo de espaço de estado para o sistema com função de transferência.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Reorganize a equação acima como,
$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$
Deixei
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ ponto {x} _1 $$
e $ u (t) = u $
Então, a equação de estado é
$$ \ ponto {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$
A equação de saída é
$$ y (t) = y = x_1 $$
O modelo de espaço de estado é
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 e 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Função de transferência com função polinomial de 's' no Numerador
Considere a seguinte função de transferência de um sistema
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$
A equação acima está na forma de produto das funções de transferência de dois blocos, que estão em cascata.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$
Aqui,
$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
Reorganize, a equação acima como
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$
Deixei
$$ v (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ ponto {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ ponto {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ ponto {x} _n $$
e $ u (t) = u $
Então, a equação de estado é
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$
Considerar,
$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$
Reorganize, a equação acima como
$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$
Ao substituir as variáveis de estado e $ y (t) = y $ na equação acima, obteremos a equação de saída como,
$$ y = b_n \ ponto {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
Substitua, $ \ dot {x} _n $ valor na equação acima.
$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$
O modelo de espaço de estado é
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ começar {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Se $ b_n = 0 $, então,
$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$