Sistemas de controle - gráficos de Bode

O gráfico de Bode ou o diagrama de Bode consiste em dois gráficos -

  • Gráfico de magnitude
  • Gráfico de fase

Em ambos os gráficos, o eixo x representa a frequência angular (escala logarítmica). Considerando que, yaxis representa a magnitude (escala linear) da função de transferência de malha aberta no gráfico de magnitude e o ângulo de fase (escala linear) da função de transferência de malha aberta no gráfico de fase.

o magnitude da função de transferência de malha aberta em dB é -

$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$

o phase angle da função de transferência de malha aberta em graus é -

$$ \ phi = \ ângulo G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Note - A base do logaritmo é 10.

Básico de gráficos de Bode

A tabela a seguir mostra a inclinação, a magnitude e os valores do ângulo de fase dos termos presentes na função de transferência em malha aberta. Esses dados são úteis ao desenhar os gráficos de Bode.

Tipo de termo G (jω) H (jω) Inclinação (dB / dec) Magnitude (dB) Ângulo de fase (graus)

Constante

$ K $

$ 0 $

$ 20 \ log K $

$ 0 $

Zero na origem

$ j \ omega $

$ 20 $

$ 20 \ log \ omega $

$ 90 $

'n' zeros na origem

$ (j \ omega) ^ n $

$ 20 \: n $

$ 20 \: n \ log \ omega $

$ 90 \: n $

Pólo na origem

$ \ frac {1} {j \ omega} $

$ -20 $

$ -20 \ log \ omega $

$ -90 \: ou \: 270 $

'n' pólos na origem

$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $

$ -20 \: n $

$ -20 \: n \ log \ omega $

$ -90 \: n \: ou \: 270 \: n $

Zero simples

$ 1 + j \ omega r $

$ 20 $

$ 0 \: para \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ 20 \: \ log \ omega r \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $

$ 0 \: para \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ 90 \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $

Poste simples

$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $

$ -20 $

$ 0 \: para \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ -20 \: \ log \ omega r \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $

$ 0 \: para \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ -90 \: ou \: 270 \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $

Termo derivado de segunda ordem

$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $

$ 40 $

$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: para \: \ omega <\ omega_n $

$ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: para \: \ omega = \ omega_n $

$ 40 \: \ log \: \ omega \: para \: \ omega> \ omega_n $

$ 0 \: para \: \ omega <\ omega_n $

$ 90 \: para \: \ omega = \ omega_n $

$ 180 \: para \: \ omega> \ omega_n $

Termo integral de segunda ordem

$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $

$ -40 $

$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: para \: \ omega <\ omega_n $

$ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: para \: \ omega = \ omega_n $

$ -40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega> \ omega_n $

$ -0 \: para \: \ omega <\ omega_n $

$ -90 \: para \: \ omega = \ omega_n $

$ -180 \: para \: \ omega> \ omega_n $

Considere a função de transferência em malha aberta $ G (s) H (s) = K $.

Magnitude $ M = 20 \: \ log K $ dB

Ângulo de fase $ \ phi = 0 $ graus

Se $ K = 1 $, então a magnitude é 0 dB.

Se $ K> 1 $, a magnitude será positiva.

Se $ K <1 $, então a magnitude será negativa.

A figura a seguir mostra o gráfico de Bode correspondente.

O gráfico de magnitude é uma linha horizontal, que é independente da frequência. A própria linha de 0 dB é o gráfico de magnitude quando o valor de K é um. Para os valores positivos de K, a linha horizontal mudará $ 20 \: \ log K $ dB acima da linha de 0 dB. Para os valores negativos de K, a linha horizontal mudará $ 20 \: \ log K $ dB abaixo da linha de 0 dB. A própria linha de zero graus é o gráfico de fase para todos os valores positivos de K.

Considere a função de transferência em malha aberta $ G (s) H (s) = s $.

Magnitude $ M = 20 \ log \ omega $ dB

Ângulo de fase $ \ phi = 90 ^ 0 $

Em $ \ omega = 0,1 $ rad / seg, a magnitude é -20 dB.

Em $ \ omega = 1 $ rad / seg, a magnitude é 0 dB.

Em $ \ omega = 10 $ rad / seg, a magnitude é 20 dB.

A figura a seguir mostra o gráfico de Bode correspondente.

O gráfico de magnitude é uma linha, que tem uma inclinação de 20 dB / dec. Esta linha começou em $ \ omega = 0,1 $ rad / seg, tendo uma magnitude de -20 dB e continua na mesma inclinação. Ele está tocando a linha de 0 dB em $ \ omega = 1 $ rad / s. Neste caso, o gráfico de fase é 90 0 linha.

Considere a função de transferência em malha aberta $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.

Magnitude $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB

Ângulo de fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ graus

Para $ ω <\ frac {1} {\ tau} $, a magnitude é 0 dB e o ângulo de fase é 0 graus.

Para $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $, a magnitude é $ 20 \: \ log \ omega \ tau $ dB e o ângulo de fase é 90 0 .

A figura a seguir mostra o gráfico de Bode correspondente.

O gráfico de magnitude tem magnitude de 0 dB até $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / s. De $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / seg, ele está tendo uma inclinação de 20 dB / dez. Nesse caso, o gráfico de fase está tendo um ângulo de fase de 0 graus até $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / seg e, a partir daqui, está tendo um ângulo de fase de 90 0 . Este gráfico de Bode é chamado deasymptotic Bode plot.

Como os gráficos de magnitude e fase são representados com linhas retas, os gráficos Exact Bode se assemelham aos gráficos Bode assintóticos. A única diferença é que os gráficos de Bode exato terão curvas simples em vez de linhas retas.

Da mesma forma, você pode desenhar os gráficos de Bode para outros termos da função de transferência de malha aberta que são fornecidos na tabela.