Цифровые схемы - булева алгебра

Boolean Algebraэто алгебра, которая имеет дело с двоичными числами и двоичными переменными. Следовательно, ее также называют бинарной алгеброй или логической алгеброй. Математик по имени Джордж Буль разработал эту алгебру в 1854 году. Переменные, используемые в этой алгебре, также называются булевыми переменными.

Диапазон напряжений, соответствующий логическому «Высокому», представлен как «1», а диапазон напряжений, соответствующий логическому «Низкому», представлен как «0».

Постулаты и основные законы булевой алгебры

В этом разделе давайте обсудим булевы постулаты и основные законы, которые используются в булевой алгебре. Это полезно для минимизации логических функций.

Булевы постулаты

Рассмотрим двоичные числа 0 и 1, логическую переменную (x) и ее дополнение (x '). Логическая переменная или ее дополнение известны какliteral. Четыре возможныхlogical OR операции между этими литералами и двоичными числами показаны ниже.

х + 0 = х

х + 1 = 1

х + х = х

х + х '= 1

Точно так же четыре возможных logical AND операции между этими литералами и двоичными числами показаны ниже.

х.1 = х

х.0 = 0

хх = х

x.x '= 0

Это простые булевы постулаты. Мы можем легко проверить эти постулаты, заменив логическую переменную на «0» или «1».

Note- Дополнение к любой логической переменной равно самой переменной. т.е. (x ')' = x.

Основные законы булевой алгебры

Ниже приведены три основных закона булевой алгебры.

Коммутативный закон
Ассоциативный закон
Распределительное право

Коммутативный закон

Если любая логическая операция с двумя логическими переменными дает один и тот же результат независимо от порядка этих двух переменных, то эта логическая операция называется Commutative. Операции логического ИЛИ и логического И двух булевых переменных x и y показаны ниже.

х + у = у + х

xy = yx

Символ «+» обозначает операцию логического ИЛИ. Точно так же символ '.' обозначает логическую операцию И и необязательно представлять. Коммутативный закон подчиняется операциям логического ИЛИ и логического И.

Ассоциативный закон

Если сначала выполняется логическая операция с любыми двумя логическими переменными, а затем такая же операция с оставшейся переменной дает тот же результат, то эта логическая операция называется Associative. Ниже показаны операции логического ИЛИ и логического И для трех булевых переменных x, y и z.

х + (у + г) = (х + у) + г

х. (yz) = (ху) .z

Ассоциативный закон подчиняется операциям логического ИЛИ и логического И.

Распределительное право

Если какая-либо логическая операция может быть распределена на все термины, присутствующие в булевой функции, то эта логическая операция называется Distributive. Распределение операций логического ИЛИ и логического И трех логических переменных x, y и z показано ниже.

х. (у + г) = ху + хz

х + (уz) = (х + у). (х + z)

Распределительный закон подчиняется логическим операциям ИЛИ и логическим операциям И.

Это основные законы булевой алгебры. Мы можем легко проверить эти законы, заменив булевы переменные на «0» или «1».

Теоремы булевой алгебры

Следующие две теоремы используются в булевой алгебре.

Теорема двойственности
Теорема ДеМоргана

Теорема двойственности

Эта теорема утверждает, что dualлогической функции получается заменой логического оператора И оператором логического ИЛИ и нулей на единицы. Для каждой логической функции будет соответствующая функция Dual.

Разделим булевы уравнения (отношения), которые мы обсуждали в разделе «Булевы постулаты и основные законы», на две группы. В следующей таблице показаны эти две группы.

Группа 1	Группа 2
х + 0 = х	х.1 = х
х + 1 = 1	х.0 = 0
х + х = х	хх = х
х + х '= 1	x.x '= 0
х + у = у + х	xy = yx
х + (у + г) = (х + у) + г	х. (yz) = (ху) .z
х. (у + г) = ху + хz	х + (уz) = (х + у). (х + z)

В каждой строке есть два булевых уравнения, двойственных друг другу. Мы можем проверить все эти булевы уравнения Группы 1 и Группы 2, используя теорему двойственности.

Теорема ДеМоргана

Эта теорема полезна при нахождении complement of Boolean function. Он утверждает, что дополнение логического ИЛИ по крайней мере двух логических переменных равно логическому И каждой дополняемой переменной.

Теорема ДеМоргана с двумя булевыми переменными x и y может быть представлена как

(х + у) '= х'.у'

Двойственная к вышеуказанной булевой функции есть

(ху) '= х' + у '

Следовательно, дополнение логического И двух логических переменных равно логическому ИЛИ каждой дополняемой переменной. Точно так же мы можем применить теорему ДеМоргана для более чем двух булевых переменных.

Упрощение булевых функций.

До сих пор мы обсуждали постулаты, основные законы и теоремы булевой алгебры. Теперь давайте упростим некоторые булевы функции.

Пример 1

Разрешите нам simplify булева функция, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr

Мы можем упростить эту функцию двумя способами.

Method 1

Для данной булевой функции f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1- В первом и втором членах r является общим, а в третьем и четвертом членах pq является общим. Итак, возьмите общие термины, используяDistributive law.

⇒ f = (p'q + pq ') r + pq (r' + r)

Step 2- Термины, указанные в первых скобках, могут быть упрощены до операции Ex-OR. Термины, представленные во вторых скобках, можно упростить до «1», используяBoolean postulate

⇒ f = (p ⊕q) r + pq (1)

Step 3- Первый термин не подлежит дальнейшему упрощению. Но второй член можно упростить до pq, используяBoolean postulate.

⇒ f = (p ⊕q) r + pq

Следовательно, упрощенная логическая функция имеет вид f = (p⊕q)r + pq

Method 2

Для данной булевой функции f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1 - Используйте Boolean postulate, х + х = х. Это означает, что операция логического ИЛИ с любой логической переменной n раз будет равна той же переменной. Итак, мы можем написать последний член pqr еще два раза.

⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr

Step 2 - Использование Distributive lawдля 1- ^го и 4- ^го , 2- ^го и 5- ^го , 3- ^го и 6- ^го триместров.

⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r).

Step 3 - Использование Boolean postulate, x + x '= 1 для упрощения терминов, содержащихся в каждой скобке.

⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)

Step 4 - Использование Boolean postulate, x.1 = x для упрощения трех вышеуказанных членов.

⇒ f = qr + pr + pq

⇒ f = pq + qr + pr

Следовательно, упрощенная логическая функция имеет вид f = pq + qr + pr.

Итак, после упрощения данной логической функции в каждом методе мы получили две разные логические функции. Функционально эти две логические функции одинаковы. Итак, исходя из требований, мы можем выбрать одну из этих двух логических функций.