Цифровые схемы - двухуровневая логическая реализация

Максимальное количество уровней между входами и выходами - два в two level logic. Это означает, что независимо от общего количества логических вентилей максимальное количество логических вентилей, которые присутствуют (каскадно) между любым входом и выходом, равно двум в двухуровневой логике. Здесь выходы логических элементов первого уровня подключены как входы логических элементов (ов) второго уровня.

Рассмотрим четыре логических элемента: И, ИЛИ, ИЛИ И ИЛИ. Поскольку существует 4 логических элемента, мы получим 16 возможных способов реализации двухуровневой логики. Это AND-AND, AND-OR, ANDNAND, AND-NOR, OR-AND, OR-OR, OR-NAND, OR-NOR, NAND-AND, NAND-OR, NANDNAND, NAND-NOR, NOR-AND, НИ-ИЛИ, НИ-НЕ-НЕ, НИ-НИ.

Эти двухуровневые логические реализации можно разделить на следующие две категории.

• Дегенеративная форма
• Недегенеративная форма

Дегенеративная форма

Если выход двухуровневой логической реализации может быть получен с использованием одного логического элемента, то он называется degenerative form. Очевидно, что количество входов одного логического элемента увеличивается. Благодаря этому увеличивается разветвление логических ворот. В этом преимущество дегенеративной формы.

Только 6 combinationsдвухуровневых логических реализаций из 16 комбинаций имеют дегенеративную форму. Это AND-AND, AND-NAND, OR-OR, OR-NOR, NAND-NOR, NORNAND.

В этом разделе давайте обсудим некоторые реализации. Предположим, что A, B, C и D являются входами, а Y - выходом в каждой логической реализации.

И-И логика

В этой логической реализации логические элементы И присутствуют на обоих уровнях. На рисунке ниже показан примерAND-AND logic реализация.

Мы получим выходы логических вентилей первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $.

Эти выходы, $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента И, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента И равен

$$ Y = Y_ {1} Y_ {2} $$

Подставьте значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = \ влево (AB \ вправо) \ влево (CD \ вправо) $$

$ \ Rightarrow Y = ABCD $

Следовательно, на выходе этой логической реализации И-И будет ABCD. Эта логическая функция может быть реализована с помощью логического элемента И с 4 входами. Следовательно, этоdegenerative form.

Логика AND-NAND

В этой логической реализации вентили И присутствуют на первом уровне, а вентили И-НЕ присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан примерAND-NAND logic реализация.

Ранее мы получали выходы логических вентилей первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $.

Эти выходы, $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента И-НЕ, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента И-НЕ

$$ Y = {\ left (Y_ {1} Y_ {2} \ right)} '$$

Подставьте значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = {\ left (\ left (AB \ right) \ left (CD \ right) \ right)} '$$

$ \ Rightarrow Y = {\ left (ABCD \ right)} '$

Следовательно, на выходе этой логической реализации И-И-НЕ будет $ {\ left (ABCD \ right)} '$. Эта логическая функция может быть реализована с помощью логического элемента И-НЕ с 4 входами. Следовательно, этоdegenerative form.

ИЛИ-ИЛИ Логика

В этой логической реализации логические элементы ИЛИ присутствуют на обоих уровнях. На следующем рисунке показан примерOR-OR logic реализация.

Мы получим выходы логических вентилей первого уровня как $ Y_ {1} = A + B $ и $ Y_ {2} = C + D $.

Эти выходы, $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента ИЛИ, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента ИЛИ равен

$$ Y = Y_ {1} + Y_ {2} $$

Подставьте значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = \ left (A + B \ right) + \ left (C + D \ right) $$

$ \ Rightarrow Y = A + B + C + D $

Следовательно, выход этой логической реализации ИЛИ-ИЛИ будет A+B+C+D. Эта логическая функция может быть реализована с помощью логического элемента ИЛИ с 4 входами. Следовательно, этоdegenerative form.

Точно так же вы можете проверить, принадлежат ли оставшиеся реализации к этой категории или нет.

Недегенеративная форма

Если выход двухуровневой логической реализации не может быть получен с помощью одного логического элемента, то он называется non-degenerative form.

Остальное 10 combinationsдвухуровневых логических реализаций имеют невырожденную форму. Это AND-OR, AND-NOR, OR-AND, OR-NAND, NAND-AND, NANDOR, NAND-NAND, NOR-AND, NOR-OR, NOR-NOR.

Теперь давайте обсудим некоторые реализации. Предположим, что A, B, C и D являются входами, а Y - выходом в каждой логической реализации.

И-ИЛИ логика

В этой логической реализации элементы И присутствуют на первом уровне, а элементы ИЛИ - на втором уровне. На рисунке ниже показан примерAND-OR logic реализация.

Ранее мы получали выходы логических вентилей первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $.

Эти выходы Y1 и Y2 применяются как входы логического элемента ИЛИ, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента ИЛИ равен

$$ Y = Y_ {1} + Y_ {2} $$

Подставьте значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = AB + CD $$

Следовательно, выход этой логической реализации И-ИЛИ будет AB+CD. Эта логическая функция находится вSum of Productsформа. Поскольку мы не можем реализовать это с помощью одного логического элемента, эта логическая реализация И-ИЛИ являетсяnon-degenerative form.

Логика И-ИЛИ

В этой логической реализации вентили И присутствуют на первом уровне, а вентили ИЛИ-НЕ присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан примерAND-NOR logic реализация.

Нам известны выходы логических вентилей первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $.

Эти выходы Y1 и Y2 применяются как входы логического элемента ИЛИ-НЕ, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента ИЛИ-НЕ

$$ Y = {\ left (Y_ {1} + Y_ {2} \ right)} '$$

Подставьте значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = {\ left (AB + CD \ right)} '$$

Следовательно, выходом этой логической реализации И-ИЛИ является $ {\ left (AB + CD \ right)} '$. Эта логическая функция находится вAND-OR-Invertформа. Поскольку мы не можем реализовать это с помощью одного логического элемента, эта логическая реализация И-ИЛИ являетсяnon-degenerative form

ИЛИ-И Логика

В этой логической реализации вентили ИЛИ присутствуют на первом уровне, а вентили И - на втором уровне. На следующем рисунке показан примерOR-AND logic реализация.

Ранее мы получали выходы логических вентилей первого уровня как $ Y_ {1} = A + B $ и $ Y_ {2} = C + D $.

Эти выходы, $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента И, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента И равен

$$ Y = Y_ {1} Y_ {2} $$

Подставьте значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = \ влево (A + B \ вправо) \ влево (C + D \ вправо) $$

Следовательно, выход этой логической реализации ИЛИ-И будет (A + B) (C + D). Эта логическая функция находится вProduct of Sumsформа. Поскольку мы не можем реализовать это с помощью одного логического элемента, эта логическая реализация ИЛИ-И являетсяnon-degenerative form.

Точно так же вы можете проверить, принадлежат ли оставшиеся реализации к этой категории или нет.