Цифровые схемы - канонические и стандартные формы
Мы получим четыре логических термина продукта, объединив две переменные x и y с помощью логической операции И. Эти логические термины продукта называютсяmin terms или же standard product terms. Минимальные члены - это x'y ', x'y, xy' и xy.
Точно так же мы получим четыре члена логической суммы, объединив две переменные x и y с помощью операции логического ИЛИ. Эти члены логической суммы называютсяMax terms или же standard sum terms. Термины Max: x + y, x + y ', x' + y и x '+ y'.
В следующей таблице показано представление минимальных и максимальных значений для 2 переменных.
| Икс | у | Минимальные сроки | Максимальные сроки |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | М 0 = х + у |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | М 1 = х + у ' |
| 1 | 0 | м 2 = ху ' | М 2 = х '+ у |
| 1 | 1 | м 3 = ху | М 3 = х '+ у' |
Если двоичная переменная равна «0», то она представлена как дополнение переменной в min term и как сама переменная в Max term. Точно так же, если двоичная переменная равна «1», то она представлена как дополнение переменной в Max term и как сама переменная в min term.
Из приведенной выше таблицы мы можем легко заметить, что минимальные и максимальные термины дополняют друг друга. Если есть n логических переменных, то будет 2 n минимальных и 2 n максимальных терминов.
Канонические формы SoP и PoS
Таблица истинности состоит из набора входов и выходов. Если есть n входных переменных, то будет 2 n возможных комбинаций с нулями и единицами. Таким образом, значение каждой выходной переменной зависит от комбинации входных переменных. Таким образом, каждая выходная переменная будет иметь «1» для некоторой комбинации входных переменных и «0» для некоторой другой комбинации входных переменных.
Следовательно, мы можем выразить каждую выходную переменную двумя способами.
- Каноническая форма SoP
- Каноническая форма PoS
Каноническая форма SoP
Каноническая форма SoP означает форму канонической суммы произведений. В этой форме каждый термин продукта содержит все литералы. Итак, эти условия продукта - не что иное, как минимальные условия. Следовательно, каноническая форма SoP также называетсяsum of min terms форма.
Сначала определите минимальные термины, для которых выходная переменная равна единице, а затем выполните логическое ИЛИ этих минимальных терминов, чтобы получить логическое выражение (функцию), соответствующее этой выходной переменной. Эта логическая функция будет иметь форму суммы минимальных членов.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной.
пример
Рассмотрим следующее truth table.
| Входы | Вывод | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Здесь выход (f) равен «1» для четырех комбинаций входов. Соответствующие минимальные члены - это p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Выполнив логическое ИЛИ для этих четырех минимальных условий, мы получим логическую функцию вывода (f).
Следовательно, логическая функция вывода: f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Этоcanonical SoP formвыработки, ф. Мы также можем представить эту функцию в следующих двух обозначениях.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
В одном уравнении мы представили функцию как сумму соответствующих минимальных членов. В другом уравнении мы использовали символ для суммирования этих минимальных членов.
Каноническая форма PoS
Каноническая форма PoS означает форму канонического произведения сумм. В этой форме каждый член суммы содержит все литералы. Итак, эти суммы являются не чем иным, как максимальными условиями. Следовательно, каноническая форма PoS также называетсяproduct of Max terms форма.
Сначала определите параметры Max, для которых выходная переменная равна нулю, а затем выполните логическое И этих терминов Max, чтобы получить логическое выражение (функцию), соответствующее этой выходной переменной. Эта логическая функция будет представлена в виде произведения максимального количества членов.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной.
Example
Рассмотрим ту же таблицу истинности из предыдущего примера. Здесь выход (f) равен «0» для четырех комбинаций входов. Соответствующие термины Max - это p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Выполнив логическое И для этих четырех максимальных членов, мы получим булеву функцию вывода (f).
Следовательно, логическая функция вывода: f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Этоcanonical PoS formвыработки, ф. Мы также можем представить эту функцию в следующих двух обозначениях.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
В одном уравнении мы представили функцию как произведение соответствующих членов Max. В другом уравнении мы использовали символ для умножения этих максимальных членов.
Булева функция, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r), является двойником булевой функции, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Следовательно, как канонические формы SoP, так и канонические формы PoS являются Dualдруг другу. Функционально эти две формы одинаковы. Исходя из требований, мы можем использовать одну из этих двух форм.
Стандартные формы SoP и PoS
Мы обсудили две канонические формы представления логического вывода (ов). Точно так же есть две стандартные формы представления логического вывода (ов). Это упрощенная версия канонических форм.
- Стандартная форма SoP
- Стандартная форма PoS
Мы обсудим логические вентили в следующих главах. Главныйadvantageстандартных форм состоит в том, что количество входов, применяемых к логическим элементам, может быть минимизировано. Иногда общее количество требуемых логических вентилей сокращается.
Стандартная форма SoP
Стандартная форма SoP означает Standard Sum of Productsформа. В этой форме каждый термин продукта не обязательно должен содержать все литералы. Таким образом, условия продукта могут быть минимальными, а могут и не быть. Таким образом, стандартная форма SoP - это упрощенная форма канонической формы SoP.
Мы получим стандартную форму выходной переменной SoP за два шага.
- Получите каноническую форму выходной переменной SoP
- Упростите приведенную выше логическую функцию в канонической форме SoP.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной. Иногда может оказаться невозможным упростить каноническую форму SoP. В этом случае и каноническая, и стандартная форма SoP одинаковы.
Example
Преобразуйте следующую логическую функцию в стандартную форму SoP.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
Данная булева функция находится в канонической форме SoP. Теперь нам нужно упростить эту логическую функцию, чтобы получить стандартную форму SoP.
Step 1 - Используйте Boolean postulate, х + х = х. Это означает, что операция логического ИЛИ с любой логической переменной n раз будет равна той же переменной. Итак, мы можем написать последний член pqr еще два раза.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Использование Distributive lawдля 1- го и 4- го , 2- го и 5- го , 3- го и 6- го триместров.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r).
Step 3 - Использование Boolean postulate, x + x '= 1 для упрощения терминов, содержащихся в каждой скобке.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Использование Boolean postulate, x.1 = x для упрощения вышеуказанных трех членов.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Это упрощенная логическая функция. Следовательноstandard SoP form соответствующая данной канонической форме SoP f = pq + qr + pr
Стандартная форма PoS
Стандартная форма PoS означает Standard Product of Sumsформа. В этой форме каждый член суммы не обязательно должен содержать все литералы. Таким образом, условия суммы могут быть или не быть максимальными условиями. Таким образом, Стандартная форма PoS - это упрощенная форма канонической формы PoS.
Мы получим стандартную форму выходной переменной PoS за два шага.
- Получите каноническую форму выходной переменной PoS
- Упростите приведенную выше логическую функцию, которая находится в канонической форме PoS.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной. Иногда не удается упростить каноническую форму PoS. В этом случае и каноническая, и стандартная форма PoS одинаковы.
Example
Преобразуйте следующую логическую функцию в стандартную форму PoS.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r).
Данная логическая функция находится в канонической форме PoS. Теперь нам нужно упростить эту логическую функцию, чтобы получить стандартную форму PoS.
Step 1 - Используйте Boolean postulate, хх = х. Это означает, что операция логического И с любой логической переменной n раз будет равна той же переменной. Итак, мы можем написать первый член p + q + r еще два раза.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q). + г)
Step 2 - Использование Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) для 1- й и 4- й скобок, 2- й и 5- й скобок, 3- й и 6- й скобок.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ').
Step 3 - Использование Boolean postulate, x.x '= 0 для упрощения терминов, содержащихся в каждой скобке.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0).
Step 4 - Использование Boolean postulate, x + 0 = x для упрощения терминов в каждой скобке
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r).
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r).
Это упрощенная логическая функция. Следовательноstandard PoS form соответствующая данной канонической форме PoS, является f = (p + q).(q + r).(p + r). Этоdual булевой функции f = pq + qr + pr.
Следовательно, как стандартные формы SoP, так и стандартные формы PoS являются двойными друг другу.