Цифровые схемы - пороговая логика

В предыдущих главах мы реализовали различные комбинационные схемы с использованием логических вентилей. За исключением элемента НЕ, остальные все логические элементы имеют как минимум два входа и один выход. Точно так жеthreshold gate также содержит как минимум один вход и только один выход.

Кроме того, он содержит соответствующие веса для каждого входа и пороговое значение. Значения этих весов и порога могут иметь любое конечное действительное число.

Основы порогового гейта

Пусть входы порогового элемента - X 1 , X 2 , X 3 ,…, X n . Соответствующие веса этих входов: W 1 , W 2 , W 3 ,…, W n . Вsymbol Порогового затвора показано на следующем рисунке.

Threshold gateпредставлен в виде круга и имеет «n» входов, от X 1 до X n, и единственный выход, Y. Этот круг состоит из двух частей. Одна часть представляет собой веса, соответствующие входам, а другая часть представляет пороговое значение T.

Сумма произведений входов с соответствующими весами известна как weighted sum. Если эта взвешенная сумма больше или равна пороговому значению T, то только выход Y будет равен единице. В противном случае выход Y будет равен нулю.

Mathematically, мы можем записать эту связь между входами и выходами порогового вентиля, как показано ниже.

$$ Y = 1, если \: \: W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} + ... W_ {n} X_ {n} \ geq T $$

= 0 в противном случае.

Следовательно, мы можем реализовать различные логические элементы и булевы функции, просто изменив значения весов и / или порогового значения T.

пример

Давайте найдем simplified Boolean function для следующих пороговых ворот.

Этот пороговый вентиль имеет три входа X 1 , X 2 , X 3 и один выход Y.

Веса, соответствующие входам X 1 , X 2 и X 3, равны W 1 = 2, W 2 = 1 и W 3 = -4 соответственно.

Значение порогового строба T = -1.

В weighted sum порога ворот

$$ W = W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} $$

Подставьте указанные веса в приведенное выше уравнение.

$$ \ Rightarrow W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $$

На выходе порогового вентиля Y будет «1», если W ≥ −1, в противном случае - «0».

Продолжение table показывает взаимосвязь между входом и выходом для всех возможных комбинаций входов.

Входы Взвешенная сумма Вывод
$ X_ {1} $ $ X_ {2} $ $ X_ {3} $ $ W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $ $ Y $
0 0 0 0 1
0 0 1 -4 0
0 1 0 1 1
0 1 1 -3 0
1 0 0 2 1
1 0 1 -2 0
1 1 0 3 1
1 1 1 -1 1

Из приведенной выше таблицы мы можем написать Boolean function для вывода Y как

$$ Y = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$

Упрощение этой логической функции с использованием 3 variable K-Map показано на следующем рисунке.

Следовательно simplified Boolean function для заданного порогового значения: $ Y = {X_ {3} '} + X_ {1} X_ {2} $.

Синтез пороговых функций.

Пороговый вентиль также называют universal gateпотому что мы можем реализовать любую логическую функцию с помощью пороговых вентилей. Иногда может оказаться невозможным реализовать несколько логических вентилей и логических функций с помощью одного порогового вентиля. В этом случае нам может потребоваться несколько пороговых ворот.

Следуйте этим steps для реализации логической функции с использованием одного порогового вентиля.

Step 1 - Сформулируйте Truth table для данной логической функции.

Step 2 - В приведенной выше таблице истинности добавьте (включите) еще один столбец, который показывает связь между weighted sums и Threshold value.

Step 3 - Запишите соотношение между взвешенными суммами и порогом для каждой комбинации входных данных, как указано ниже.

  • Если выход логической функции равен 1, то взвешенная сумма будет больше или равна пороговому значению для этой комбинации входов.

  • Если выход логической функции равен 0, то взвешенная сумма будет меньше порогового значения для этой комбинации входов.

Step 4 - Выберите значения весов и порога таким образом, чтобы они удовлетворяли всем отношениям, представленным в последнем столбце приведенной выше таблицы.

step 5 - Нарисуйте symbol порогового строба с этими весами и пороговым значением.

пример

Реализуем следующие Boolean function с использованием одинарного порогового гейта.

$$ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$

Данная логическая функция представляет собой функцию трех переменных, которая представлена ​​в виде суммы минимальных членов. ВTruth table этой функции показано ниже.

Входы Вывод
X1 X2 X3 Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

Теперь давайте добавим (включим) еще один столбец в приведенную выше таблицу истинности. Последний столбец содержит отношения междуweighted sums (W) and Threshold значение (T) для каждой комбинации входов.

Входы Вывод Отношения между W&T
X1 X2 X3 Y
0 0 0 1 0 ≥T
0 0 1 0 W 3 <T
0 1 0 1 W 2 ≥ T
0 1 1 0 W 2 + W 3
1 0 0 1 W 1 ≥ T
1 0 1 0 W 1 + W 3
1 1 0 1 W 1 + W 2 ≥ Т
1 1 1 1 W 1 + W 2 + W 3 ≥ Т

Ниже приведены выводы из приведенной выше таблицы.

  • Значение порога должно быть либо нулевым, либо отрицательным в зависимости от первого отношения.

  • Значение W 3 должно быть отрицательным на основании первого и второго соотношений.

  • Значения W 1 и W 2 должны быть больше или равны пороговому значению на основе пятого и третьего соотношений.

  • W 2 должен быть больше W 3 на основании четвертого соотношения.

Мы можем выбрать следующие значения для весов и пороговых значений на основе сделанных выше выводов.

W 1 = 2, W 2 = 1, W 3 = -4 и T = -1

В symbol Порогового строба с указанными выше значениями показано ниже.

Следовательно, этот пороговый вентиль реализует данный Boolean function, $ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $.