Теория сети - преобразование дельты в звезду

В предыдущей главе мы обсудили пример эквивалентного сопротивления, связанного с проблемой. Там мы рассчиталиequivalent resistanceмежду клеммами A и B данной электрической сети легко. Потому что на каждом этапе мы получали комбинацию резисторов, которые подключены последовательно или параллельно.

Однако в некоторых ситуациях сложно упростить сеть, следуя предыдущему подходу. Например, резисторы соединены в форме треугольника (δ) или звезды. В таких ситуациях мы должныconvertсоединение одной формы с другой для дальнейшего упрощения за счет использования последовательной комбинации или параллельной комбинации. В этой главе давайте обсудимDelta to Star Conversion.

Сеть Дельта

Рассмотрим следующее delta network как показано на следующем рисунке.

Следующие уравнения представляют equivalent resistance между двумя терминалами дельта-сети, когда третий терминал остается открытым.

$$ R_ {AB} = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {BC} = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {CA} = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Star Network

На следующем рисунке показан equivalent star network соответствует вышеуказанной сети дельты.

Следующие уравнения представляют equivalent resistance между двумя терминалами звездообразной сети, когда третий терминал остается открытым.

$$ R_ {AB} = R_A + R_B $$

$$ R_ {BC} = R_B + R_C $$

$$ R_ {CA} = R_C + R_A $$

Сопротивления сети Star с точки зрения сопротивлений сети Delta

Мы получим следующие уравнения, приравняв члены в правой части приведенных выше уравнений, для которых члены в левой части совпадают.

$ R_A + R_B = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 1

$ R_B + R_C = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 2

$ R_C + R_A = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 3

Добавив три приведенных выше уравнения, мы получим

$$ 2 (R_A + R_B + R_C) = \ frac {2 (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$ \ Rightarrow R_A + R_B + R_C = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 4

Вычтите уравнение 2 из уравнения 4.

$ R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} - \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Вычитая уравнение 3 из уравнения 4, мы получим

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Вычитая уравнение 1 из уравнения 4, мы получим

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Используя приведенные выше соотношения, мы можем найти сопротивления звездообразной сети из сопротивлений дельта-сети. Таким образом, мы можем преобразоватьdelta network в star network.

пример

Подсчитаем resistances of star network, которые эквивалентны дельта-сети, как показано на следующем рисунке.

Учитывая resistances of delta networkтак как R 1 = 10 Ом, R 2 = 60 Ом и R 3 = 30 Ом.

Нам известны следующие соотношения сопротивлений звездообразной сети относительно сопротивлений дельта-сети.

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Подставьте значения R 1 , R 2 и R 3 в приведенные выше уравнения.

$$ R_A = \ frac {10 \ times 60} {10 + 60 + 30} = \ frac {600} {100} = 6 \ Omega $$

$$ R_B = \ frac {60 \ times 30} {10 + 60 + 30} = \ frac {1800} {100} = 18 \ Omega $$

$$ R_C = \ frac {30 \ times 10} {10 + 60 + 30} = \ frac {300} {100} = 3 \ Omega $$

Итак, мы получили сопротивления звездной сети как RA = 6 Ω, RB = 18 Ω и RC = 3 Ω, которые эквивалентны сопротивлениям данной сети треугольником.