Теория сети - параллельный резонанс

В предыдущей главе мы обсуждали важность последовательного резонанса. Теперь давайте обсудим параллельный резонанс в цепях RLC.

Схема параллельного резонанса

Если резонанс возникает в параллельном контуре RLC, то он называется Parallel Resonance. Рассмотрим следующееparallel RLC circuit, который представлен в векторном домене.

Здесь пассивные элементы, такие как резистор, катушка индуктивности и конденсатор, подключены параллельно. Вся эта комбинация находится вparallel с входным источником синусоидального тока.

Написать nodal equation в узле П.

$$ - I + I_R + I_L + I_C = 0 $$

$$ \ Rightarrow - I + \ frac {V} {R} + \ frac {V} {j X_L} + \ frac {V} {- j X_C} = 0 $$

$$ \ Rightarrow I = \ frac {V} {R} - \ frac {jV} {X_L} + \ frac {jV} {X_C} $$

$ \ Rightarrow I = V [\ frac {1} {R} + j \ lgroup \ frac {1} {X_C} - \ frac {1} {X_L} \ rgroup] $Equation 1

Вышеприведенное уравнение имеет вид I = VY.

Следовательно admittance Y параллельной цепи RLC будет

$$ Y = \ frac {1} {R} + j \ lgroup \ frac {1} {X_C} - \ frac {1} {X_L} \ rgroup $$

Параметры и электрические величины при резонансе

Теперь поочередно выведем значения параметров и электрических величин при резонансе параллельной RLC-цепи.

Резонансная частота

Мы знаем, что resonant frequency, fr- частота, при которой возникает резонанс. В параллельной цепи RLC возникает резонанс, когда мнимый член полной проводимости Y равен нулю. т.е. значение $ \ frac {1} {X_C} - \ frac {1} {X_L} $ должно быть равно нулю

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {X_C} = \ frac {1} {X_L} $$

$$ \ Rightarrow X_L = X_C $$

Вышеупомянутое условие резонанса такое же, как и для последовательной цепи RLC. Так чтоresonant frequency, fr будет одинаковым как в последовательной цепи RLC, так и в параллельной цепи RLC.

Следовательно resonant frequency, fr параллельной цепи RLC

$$ f_r = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} $$

Где,

  • L - индуктивность катушки индуктивности.
  • C - емкость конденсатора.

В resonant frequency, fr параллельной цепи RLC зависит только от индуктивности L и емкость C. Но это не зависит от сопротивленияR.

Прием

Мы получили admittance Y параллельной цепи RLC как

$$ Y = \ frac {1} {R} + j \ lgroup \ frac {1} {X_C} - \ frac {1} {X_L} \ rgroup $$

Подставьте $ X_L = X_C $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y = \ frac {1} {R} + j \ lgroup \ frac {1} {X_C} - \ frac {1} {X_C} \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow Y = \ frac {1} {R} + j (0) $$

$$ \ Rightarrow Y = \ frac {1} {R} $$

В резонансе admittance, Y параллельной цепи RLC равно сопротивлению, обратному сопротивлению R. т.е. $ \ mathbf {\ mathit {Y = \ frac {1} {R}}} $

Напряжение на каждом элементе

Заменить, $ \ frac {1} {X_C} - \ frac {1} {X_L} = 0 $ в уравнении 1

$$ I = V [\ frac {1} {R} + j (0)] $$

$$ \ Rightarrow I = \ frac {V} {R} $$

$$ \ Rightarrow V = IR $$

Следовательно voltage на всех элементах параллельной цепи RLC в резонансе V = IR.

В резонансе проводимость параллельной цепи RLC достигает минимального значения. Следовательно,maximum voltage присутствует на каждом элементе этой цепи в резонансе.

Ток, протекающий через резистор

Ток, протекающий через резистор, равен

$$ I_R = \ frac {V} {R} $$

Подставьте значение V в приведенном выше уравнении.

$$ I_R = \ frac {IR} {R} $$

$$ \ Rightarrow I_R = I $$

Следовательно current flowing through resistor при резонансе - $ \ mathbf {\ mathit {I_R = I}} $.

Ток, протекающий через индуктор

Ток, протекающий через катушку индуктивности, равен

$$ I_L = \ frac {V} {j X_L} $$

Подставьте значение V в приведенном выше уравнении.

$$ I_L = \ frac {IR} {j X_L} $$

$$ \ Rightarrow I_L = -j \ lgroup \ frac {R} {X_L} \ rgroup I $$

$$ \ Rightarrow I_L = -jQI $$

Следовательно current flowing through inductor при резонансе $ I_L = -jQI $.

Так что magnitude тока, протекающего через катушку индуктивности при резонансе, будет

$$ | I_L | = QI $$

Где, Q - Quality factor и его значение равно $ \ frac {R} {X_L} $

Ток, протекающий через конденсатор

Ток, протекающий через конденсатор, равен

$$ I_C = \ frac {V} {- j X_C} $$

Подставьте значение V в приведенном выше уравнении.

$$ I_C = \ frac {IR} {- j X_C} $$

$$ \ Rightarrow I_C = j \ lgroup \ frac {R} {X_C} \ rgroup I $$

$$ \ Rightarrow I_C = jQI $$

Следовательно current flowing through capacitor при резонансе $ I_C = jQI $

Так что magnitude тока, протекающего через конденсатор при резонансе, будет

$$ | I_C | = QI $$

Где, Q - Quality factor и его значение равно $ \ frac {R} {X_C} $

Note - Параллельный резонансный контур RLC называется current magnificationцепь. Так, величина тока , протекающего через катушку индуктивности и конденсатора равна Q раз входной синусоидальный ток I .