Теория сети - Последовательный резонанс

Resonanceвозникает в электрических цепях из-за наличия элементов накопления энергии, таких как индуктор и конденсатор. Это фундаментальная концепция, на основе которой радио- и телевизионные приемники сконструированы таким образом, что они должны иметь возможность выбирать только желаемую частоту станции.

Есть two typesрезонансов, а именно последовательного резонанса и параллельного резонанса. Они классифицируются на основе элементов сети, которые подключены последовательно или параллельно. В этой главе давайте обсудим последовательный резонанс.

Схема последовательного резонанса

Если резонанс возникает в последовательном RLC-контуре, то он называется Series Resonance. Рассмотрим следующееseries RLC circuit, который представлен в векторном домене.

Здесь последовательно соединены пассивные элементы, такие как резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Вся эта комбинация находится вseries с входным источником синусоидального напряжения.

Применять KVL вокруг петли.

$$ V - V_R - V_L - V_C = 0 $$

$$ \ Rightarrow V - IR - I (j X_L) - I (-j X_C) = 0 $$

$$ \ Rightarrow V = IR + I (j X_L) + I (-j X_C) $$

$ \ Rightarrow V = I [R + j (X_L - X_C)] $Equation 1

Вышеприведенное уравнение имеет вид V = IZ.

Следовательно impedance Z последовательной цепи RLC будет

$$ Z = R + j (X_L - X_C) $$

Параметры и электрические величины при резонансе

Теперь поочередно выведем значения параметров и электрических величин при резонансе последовательного RLC-контура.

Резонансная частота

Частота, на которой возникает резонанс, называется resonant frequency fr. В последовательном RLC-контуре возникает резонанс, когда мнимый член импеданса Z равен нулю, то есть значение $ X_L - X_C $ должно быть равно нулю.

$$ \ Rightarrow X_L = X_C $$

Подставьте $ X_L = 2 \ pi f L $ и $ X_C = \ frac {1} {2 \ pi f C} $ в приведенное выше уравнение.

$$ 2 \ pi f L = \ frac {1} {2 \ pi f C} $$

$$ \ Rightarrow f ^ 2 = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2 LC} $$

$$ \ Rightarrow f = \ frac {1} {(2 \ pi) \ sqrt {LC}} $$

Следовательно resonant frequency fr последовательной цепи RLC

$$ f_r = \ frac {1} {(2 \ pi) \ sqrt {LC}} $$

Где, L - индуктивность катушки индуктивности и C - емкость конденсатора.

В resonant frequency fr последовательной цепи RLC зависит только от индуктивности L и емкость C. Но это не зависит от сопротивленияR.

Импеданс

Мы получили impedance Z последовательной цепи RLC как

$$ Z = R + j (X_L - X_C) $$

Подставьте $ X_L = X_C $ в приведенное выше уравнение.

$$ Z = R + j (X_C - X_C) $$

$$ \ Rightarrow Z = R + j (0) $$

$$ \ Rightarrow Z = R $$

В резонансе impedance Z цепи последовательного RLC равно значению сопротивления R, т.е. Z = R.

Ток, протекающий по цепи

Подставьте $ X_L - X_C = 0 $ в уравнение 1.

$$ V = I [R + j (0)] $$

$$ \ Rightarrow V = IR $$

$$ \ Rightarrow I = \ frac {V} {R} $$

Следовательно, current протекает через последовательный контур RLC при резонансе: $ \ mathbf {\ mathit {I = \ frac {V} {R}}} $.

В резонансе полное сопротивление последовательной цепи RLC достигает минимального значения. Следовательноmaximum current протекает через этот контур при резонансе.

Напряжение на резисторе

Напряжение на резисторе равно

$$ V_R = IR $$

Подставьте значение I в приведенном выше уравнении.

$$ V_R = \ lgroup \ frac {V} {R} \ rgroup R $$

$$ \ Rightarrow V_R = V $$

Следовательно voltage across resistor при резонансе VR = V.

Напряжение на индукторе

Напряжение на катушке индуктивности равно

$$ V_L = I (jX_L) $$

Подставьте значение I в приведенном выше уравнении.

$$ V_L = \ lgroup \ frac {V} {R} \ rgroup (jX_L) $$

$$ \ Rightarrow V_L = j \ lgroup \ frac {X_L} {R} \ rgroup V $$

$$ \ Rightarrow V_L = j QV $$

Следовательно voltage across inductor при резонансе $ V_L = j QV $.

Так что magnitude напряжения на катушке индуктивности при резонансе будет

$$ | V_L | = QV $$

где Q это Quality factor и его значение равно $ \ frac {X_L} {R} $

Напряжение на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе

$$ V_C = I (-j X_C) $$

Подставьте значение I в приведенное выше уравнение.

$$ V_C = \ lgroup \ frac {V} {R} \ rgroup (-j X_C) $$

$$ \ Rightarrow V_C = -j \ lgroup \ frac {X_C} {R} \ rgroup V $$

$$ \ Rightarrow V_C = -jQV $$

Следовательно voltage across capacitor при резонансе - $ \ mathbf {\ mathit {V_C = -jQV}} $.

Так что magnitude напряжения на конденсаторе при резонансе будет

$$ | V_C | = QV $$

где Q это Quality factor и его значение равно $ \ frac {X_ {C}} {R} $

Note - Последовательный резонансный контур RLC называется voltage magnificationСхема, так как величина напряжения на катушке индуктивности и конденсатора равна Q раз входное синусоидальное напряжение V .