Рассуждение - Неравенство

В задачах, основанных на неравенстве и кодированном неравенстве, задействовано сочетание двух элементарных задач.

В этом типе задач схема кодирования полностью раскрывается в самом вопросе. Чтобы расшифровать неравенства в данной задаче, не будет больше головной боли, чем пара дополнительных секунд.

По сути, это проблема неравенства, и именно этот аспект нужно решать. Поэтому мы сначала изучаем основы неравенства.

Мы знаем, что результат умножения 5 и 3 и число 15 равны equal. Поскольку ониequal, это равенство, но в случае 5 × 5 ≠ 15 произведение 5 и 5 равно not equal к числу 15 это неравенство.

Greater than- Обозначается>. Например, 5 × 5> 15

Less than- Обозначается <. Например, 5 × 2 <15

Greater than or equal to- Обозначается ≥. Когда мы не знаем точного условия неравенства между двумя числами, мы используем этот символ. Например, рассмотрим два числаx и q. Мы знаем этоx is not less than q. В этом случае x может быть либо равно q, либо больше q. Поэтому мы используем знак ≥.

Less than or equal to- Обозначается ≤. Когда одно число меньше другого или равно этому числу, используется этот символ. Например, рассмотрим два числаX и B где X is not greater than B. В этом случае X меньше или равно B. Поэтому его можно представить какX ≤ B.

Два золотых правила объединения неравенств заключаются в следующем:

A common term can combine two inequalities.

Example 1

Inequality - А> В, С> D

Здесь используются четыре термина, но нет общего термина. Итак, эти два неравенства нельзя сочетать.

Example 2

Inequality - A ≤ B, X ≥ Y

Так что здесь тоже отсутствует общий термин. Поэтому их нельзя сочетать.

If the common term is higher than one and less than the other, both the inequalities can be combined.

Example 1

Inequality - P> X, X> C.

Здесь общий термин - X. X больше C, но меньше P. Таким образом, комбинация будет такой - P> X> C или C <X <P.

Example 2

Inequality - X <P, X ≥ C

Здесь X меньше P и больше или равно члену C. Поскольку X является обычным, комбинация возможна. То есть - P> X ≥ C или C ≤ X <P.

Вывод из комбинированного неравенства -

Еще одно правило, the third golden rule, используется для вывода из комбинированного неравенства следующее:

Добавьте два неравенства и сделайте вывод, позволив среднему члену исчезнуть. Заключительное неравенство имеет знак ≥ тогда и только тогда, когда оба знака в комбинированном неравенстве были ≥, и наоборот.

Следовательно, заключение обычно будет иметь строго знак>, если только знак ≥ не встречается дважды в комбинированном неравенстве.

Example 1 - Сделайте вывод из следующих комбинированных неравенств.

i. х> у> г

ii. х <у <г

Solution -

i. х> г

ii. х <г

Стратегия решения проблем неравенства и кодированного неравенства

Шаги, связанные с решением проблем, следующие:

Step 1 - Аккуратно и быстро расшифруйте символ, относящийся к арифметической операции.

Example- Учитывая, что P α Q. Означает P> Q. Поэтому заменим α на>. Вы должны взять один код за раз и заменить его исходным математическим символом, прежде чем переходить к следующему коду, и вы должны делать это быстро.

Step 2 - Делайте по одному заключению за раз и решайте, какие утверждения имеют отношение к оценке заключения.

Теперь над этим нужно подумать. Что вы подразумеваете под соответствующим заявлением? Здесь имеется в виду утверждение, из которого можно сделать вывод. Если есть вывод, скажем, x> y, тогда утверждение типа a> b бесполезно, потому что оно не содержит ни x, ни y. Поэтому никакой анализ ничего не может сказать об этом заключении. Соответствующие утверждения - это те, которые можно объединить, чтобы доказать или опровергнуть этот вывод. Таким образом, это утверждение не актуально для x> y.

Чтобы решить, какое утверждение имеет отношение к заключению, возьмите два термина данного заключения и посмотрите, появляется ли каждое из них в отдельности с одним общим термином. Эти заявления будут соответствующими заявлениями.

Example - Предположим, что после выполнения шага 1 у нас есть следующий оператор;

M> N, L = M, O> N, L ≤ K

Conclusion -

а) M <K, б) L> N

Step 3- Используйте три золотых правила, чтобы объединить соответствующие утверждения и сделать из них вывод. Золотые правила есть;

Rule 1 - Должен быть общий термин.

Rule 2 - Общий термин должен быть меньше или равен одному члену и больше или равен другому.

Rule 3- Вывод состоит в том, что неравенство получается путем исчезновения общего члена и имеет знак ≤ или ≥ тогда и только тогда, когда оба неравенства на втором этапе имели знак ≤ или знак ≥. Во всех остальных случаях в заключении будет стоять знак <или>.

Для заключения a (M <K) соответствующие утверждения следующие:

M = L и L ≤ K.

Комбинируя, получаем M = L <K

Итак, M ≤ K (согласно шагу 3)

Теперь M ≤ K не означает, что M <K, потому что M ≤ K допускает, чтобы M было меньше или равно K, что неверно в случае M <K.

Для заключения b соответствующие утверждения:

M> N и L = M

После объединения получаем L = M> N L> N

Значит вывод проверенный, ну и хорошо. Итак, L> N. Если нет, выполните следующие проверки.

Check 1 - Проверить, следует ли вывод напрямую только из одного данного утверждения.

Иногда утверждение может быть в форме A ≥ B, а одно заключение может быть в форме B ≤ A. Очевидно, что оба полностью идентичны, но иногда мы склонны игнорировать такие незначительные уловки экзаменатора.

Example - Учтите следующее: (Пусть α означает>, β означает ≥, γ означает =, δ означает <, η означает ≤)

Пусть, дано утверждение: E γ F, C δ D, F δ g, D β F

Conclusion - 1. G η F.

Здесь вывод G η F или G ≤ F, и он идентичен F β G или F ≥ G. Следовательно, он непосредственно следует из одного единственного утверждения.

Check 2 - Вывод, к которому вы пришли после третьего шага, может быть идентичным данному выводу, хотя на первый взгляд может так не выглядеть.

Check 3 - Если после третьего шага вы получаете заключение со знаком ≥, а два заданных заключения имеют знак> и знак = между одинаковыми терминами, выбор 1 или 2 является правильным.

For Example- Предположим, вы достигли A ≥ B после выполнения третьего шага. Теперь предположим, что данные выводы таковы: I) A> B и II) A = B. Тогда выбор «либо I, либо II следует» верен.

Точно так же, если вы придете к выводу, что M ≤ N и данные выводы следующие: I) M <N и II) M = N, то снова следует тот же ответ.

Check 4 - Если два приведенных заключения имеют указанные ниже знаки между одинаковыми условиями

а) знаки ≤ и>, или

б) знаки <и>, или

в) знаки> и ≤, или

г) ≥ и <знаки

и если ни один из выводов не был принят ни на одном из вышеперечисленных шагов; выбор любого из двух следующих вариантов правильный.

Предположим, в заданном вопросе выводы

а) A ≥ B б) A <B

Теперь предположим, что ни один из них не был доказан на основании каких-либо предыдущих шагов. Поскольку у них одна и та же пара (A и B) и знаки ≥ и <; выбор либо следующий, либо правильный.

Note- Проверка 4 просто говорит о том, что одно число может иметь только три позиции по сравнению с другим числом. Оно может быть меньше, равно или больше другого.

Это верно для любых двух чисел. То есть [A ≤ B или A> B] является универсально правильным утверждением, потому что A может быть либо (меньше или равно), либо (больше) B.

Таким образом, для любых двух чисел A и B всегда верно следующее:

I. A ≤ B или A <B

II. A <B или A> B

III. A> B или A ≤ B

IV. A ≥ B или A <B

Эти четыре пары называются complementary pairs. В таких случаях одно из двух утверждений всегда будет верным. Мы выбираем «либо следует» в качестве ответа. Но помните, что мы выбираем это в качестве ответа, только если ни одно из двух утверждений не было доказано на любом предыдущем шаге.