Năng khiếu - Hệ thống số

Số

Trong hệ thống số thập phân, có mười ký hiệu là 0,1,2,3,4,5,6,7,8 và 9 được gọi là chữ số. Một số được biểu thị bằng nhóm các chữ số này được gọi là chữ số.

Mệnh giá

Mệnh giá của một chữ số trong một chữ số là giá trị của chính chữ số đó. Ví dụ trong số 321, mệnh giá 1 là 1, mệnh giá 2 là 2 và mệnh giá 3 là 3.

Giá trị địa điểm

Giá trị vị trí của một chữ số trong một chữ số là giá trị của chữ số đó nhân với 10 ⁿ trong đó n bắt đầu từ 0. Ví dụ trong 321:

Giá trị đặt của 1 = 1 x 10 ⁰ = 1 x 1 = 1
Đặt giá trị của 2 = 2 x 10 ¹ = 2 x 10 = 20
Đặt giá trị của 3 = 3 x 10 ² = 3 x 100 = 300

^Chữ số ở vị trí ^thứ 0 được gọi là chữ số hàng đơn vị và là chủ đề thường được sử dụng trong các kỳ thi năng khiếu.

Các loại số

Natural Numbers- n> 0 với n là số đếm; [1,2,3 ...]
Whole Numbers- n ≥ 0 với n là số đếm; [0,1,2,3 ...].

0 là số nguyên duy nhất không phải là số tự nhiên.

Mọi số tự nhiên đều là một số nguyên.

Integers - n ≥ 0 hoặc n ≤ 0 trong đó n là số đếm; ..., - 3, -2, -1,0,1,2,3 ... là số nguyên.
- Positive Integers- n> 0; [1,2,3 ...]
- Negative Integers- n <0; [-1, -2, -3 ...]
- Non-Positive Integers- n ≤ 0; [0, -1, -2, -3 ...]
- Non-Negative Integers- n ≥ 0; [0,1,2,3 ...]
0 không phải là số nguyên dương và không âm.
Even Numbers- n / 2 = 0 trong đó n là số đếm; [0,2,4, ...]
Odd Numbers- n / 2 ≠ 0 với n là số đếm; [1,3,5, ...]
Prime Numbers - Các số chỉ chia hết cho chúng chỉ khác 1.

1 không phải là số nguyên tố.

Để kiểm tra một số p là số nguyên tố, hãy tìm một số nguyên k sao cho k> √p. Lấy tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k và chia p với mỗi số nguyên tố này. Nếu không có số nào chia p chính xác thì p là số nguyên tố, ngược lại nó không phải là số nguyên tố.

Example: 191 is prime number or not?
Solution: 
Step 1 - 14 > √191
Step 2 - Prime numbers less than 14 are 2,3,5,7,11 and 13.
Step 3 - 191 is not divisible by any above prime number.
Result - 191 is a prime number.

Example: 187 is prime number or not?
Solution: 
Step 1 - 14 > √187
Step 2 - Prime numbers less than 14 are 2,3,5,7,11 and 13.
Step 3 - 187 is divisible by 11.
Result - 187 is not a prime number.

Composite Numbers - Các số không nguyên tố> 1. Ví dụ: 4,6,8,9 v.v.

1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Co-Primes Numbers - Hai số tự nhiên là đồng nguyên tố nếu HCF của chúng bằng 1. Ví dụ, (2,3), (4,5) là đồng nguyên tố.

Chia hết

Sau đây là các mẹo để kiểm tra tính chia hết của các số.

Divisibility by 2 - Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị của nó là 0,2,4,6 hoặc 8.

Example: 64578 is divisible by 2 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8.
Result - 64578 is divisible by 2.

Example: 64575 is divisible by 2 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 5.
Result - 64575 is not divisible by 2.

Divisibility by 3 - Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Example: 64578 is divisible by 3 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 8 = 30 
which is divisible by 3.
Result - 64578 is divisible by 3.

Example: 64576 is divisible by 3 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 6 = 28 
which is not divisible by 3.
Result - 64576 is not divisible by 3.

Divisibility by 4 - Một số chia hết cho 4 nếu số được tạo thành từ hai chữ số tận cùng của nó thì chia hết cho 4.

Example: 64578 is divisible by 4 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last two digits is 78 
which is not divisible by 4.
Result - 64578 is not divisible by 4.

Example: 64580 is divisible by 4 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last two digits is 80 
which is divisible by 4.
Result - 64580 is divisible by 4.

Divisibility by 5 - Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5.

Example: 64578 is divisible by 5 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8.
Result - 64578 is not divisible by 5.

Example: 64575 is divisible by 5 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 5.
Result - 64575 is divisible by 5.

Divisibility by 6 - Một số chia hết cho 6 nếu số đó chia hết cho cả 2 và 3.

Example: 64578 is divisible by 6 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8. Number is divisible by 2.
Step 2 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 8 = 30 
which is divisible by 3.
Result - 64578 is divisible by 6.

Example: 64576 is divisible by 6 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8. Number is divisible by 2.
Step 2 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 6 = 28 
which is not divisible by 3.
Result - 64576 is not divisible by 6.

Divisibility by 8 - Một số chia hết cho 8 nếu số được tạo thành từ ba chữ số tận cùng của nó thì chia hết cho 8.

Example: 64578 is divisible by 8 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last three digits is 578 
which is not divisible by 8.
Result - 64578 is not divisible by 8.

Example: 64576 is divisible by 8 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last three digits is 576 
which is divisible by 8.
Result - 64576 is divisible by 8.

Divisibility by 9 - Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Example: 64579 is divisible by 9 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 9 = 31 
which is not divisible by 9.
Result - 64579 is not divisible by 9.

Example: 64575 is divisible by 9 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 5 = 27 
which is divisible by 9.
Result - 64575 is divisible by 9.

Divisibility by 10 - Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị của nó là 0.

Example: 64575 is divisible by 10 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 5.
Result - 64578 is not divisible by 10.

Example: 64570 is divisible by 10 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 0.
Result - 64570 is divisible by 10.

Divisibility by 11 - Một số chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở chỗ lẻ và tổng các chữ số ở chỗ chẵn bằng 0 hoặc chia hết cho 11.

Example: 64575 is divisible by 11 or not?
Solution: 
Step 1 - difference between sum of digits at odd places 
and sum of digits at even places = (6+5+5) - (4+7) = 5 
which is not divisible by 11.
Result - 64575 is not divisible by 11.

Example: 64075 is divisible by 11 or not?
Solution: 
Step 1 - difference between sum of digits at odd places 
and sum of digits at even places = (6+0+5) - (4+7) = 0.
Result - 64075 is divisible by 11.

Lời khuyên về sự phân chia

Nếu một số n chia hết cho hai số đồng nguyên tố a, b thì n chia hết cho ab.
(ab) luôn chia (a ⁿ - b ⁿ ) nếu n là số tự nhiên.
(a + b) luôn chia (a ⁿ - b ⁿ ) nếu n là số chẵn.
(a + b) luôn chia (a ⁿ + b ⁿ ) nếu n là số lẻ.

Thuật toán phân chia

Khi một số bị chia cho một số khác thì

Dividend = (Divisor x Quotient) + Reminder

Loạt

Sau đây là công thức cho chuỗi số cơ bản:

(1 + 2 + 3 + ... + n) = (1/2) n (n + 1)
(1 ² +2 ² +3 ² + ... + n ² ) = (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
(1 ³ +2 ³ +3 ³ + ... + n ³ ) = (1/4) n ² (n + 1) ²

Công thức cơ bản

Đây là những công thức cơ bản:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a - b)² = a² + b² - 2ab

(a + b)² - (a - b)² = 4ab

(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

(a² - b²) = (a + b)(a - b)

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(a³ + b³) = (a + b)(a² -  ab + b²)

(a³ - b³) = (a - b)(a² + ab + b²)

(a³ + b³ + c³ - 3abc) = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)