Comment écrire sous une forme compacte ces inégalités?

Question

J'ai besoin d'aide avec les notations. Supposons que l'inégalité$$ 0\leq s_i\leq p_i p_j^{\ast} \quad\mbox{ for } i, j =1, 2 \mbox{ and } i\neq j$$ tient, où $p^{\ast}$désignent l'exposant critique de Sobolev. J'ai besoin d'écrire en "forme compacte" (je veux dire comme dans l'inégalité ci-dessus) les inégalités suivantes$$ 1<s_3<p_1^{\ast}, \quad 1<s_4<p_2^{\ast}, \quad 1< s_5 <p_2^{\ast},\quad 1<s_6<p_1^{\ast}.$$

Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît?

Merci d'avance!

Answer 1

Par interpolation polynomiale: $$1<s_k<p^*_{(-k^2 + 9 k - 16)/2} \quad \text{for $k \ in \ {3,4,5,6 \}$}$$

Utilisation du mod: $$1<s_k<p^*_{a_k} \quad \text{for $k \ in \ {3,4,5,6 \}$},$$ où $a_k=\begin{cases}1 &\text{if $k \ pmod 3 = 0$}\\2 &\text{otherwise} \end{cases}$