Transformation unitaire quantique

Question

En mécanique quantique, on sait $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

mais pourquoi $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Est-ce que ça veut dire que $UHU^\dagger = H$? je pense$UU^\dagger H = H$, mais pourquoi pouvons-nous changer l'ordre des matrices ici?

Answer 1

Vous y réfléchissez trop, en supposant $U$ est unitaire:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ n'a pas besoin d'être l'opérateur d'évolution du temps et il n'a pas besoin de faire la navette avec $H$pour que cela fonctionne, il peut s'agir de n'importe quel élément unitaire. C'est juste dire que si tu écris$\psi$sur une autre base, alors il évolue avec l'hamiltonien écrit dans la nouvelle base. (Ou de manière équivalente qu'un vecteur en rotation évolue avec l'hamiltonien en rotation).

Answer 2

1. Si l'hamiltonien $\hat{H}$ ne dépend pas du temps, et $U$ est censé être l'opérateur d'évolution temporelle, alors $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ qui fait la navette$^1$ avec $\hat{H}$, pour que $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. La question d'OP.

2. Si l'hamiltonien $\hat{H}$dépendent du temps, puis des eqs. (A) et (B) doivent être modifiés, cf. par exemple ce post Phys.SE.

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$^1$ Une fonction $f(\hat{H})$ de $\hat{H}$ fait la navette avec $\hat{H}$, cf. par exemple ceci et ce messages Phys.SE.

Answer 3

user2723984 est correct. Cependant, la 2ème partie de votre question n'est pas résolue: si l'hamiltonien fait la navette avec lui-même à des moments différents, alors le seul opérateur$U$ est $H$ et comme $H$ fait la navette avec lui-même, l'ordre des opérateurs peut alors être modifié.