Trouver une fonction qui est la distance $1$ de $x^2$ le long de ses normales [dupliquer]

Question

J'ai donc récemment pensé à un problème, que j'ai essayé de résoudre de nombreuses façons, mais je n'ai pas pu. C'est très simple à décrire ...

Trouvez la fonction qui est la distance $1$ de la parabole $y=x^2$le long de ses normales. Visuel de ce que je veux dire .

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C'est l'une des choses que j'ai essayées ...

Cette fonction obtiendrait le correspondant $x$ valeur sur la fonction que nous voulons trouver à partir d'un $x$ valeur sur la courbe $y=x^2$. L'inverse donnerait le correspondant$x $ valeur sur $x^2$ pour un donné $x$ valeur qui rendrait trivial la détermination du $y$ valeur. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Cela peut être résolu à ceci ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Cependant, je ne sais pas comment obtenir l'inverse de cette fonction.

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ alors $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ ou, selon Wolfy, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

Ceci est une quartique en $x$ qui peut être résolu mais est incroyablement salissant comme prévu.

Answer 2

J'ai trouvé des équations paramétriques du locus

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

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Answer 3

On peut modifier par compensation par rapport à la paramétrisation standard. Utilisé$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ dans le graphique (décalage utilisé de 0,2 au lieu de 1,0 pour la clarté du graphique).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Nous ajoutons ou supprimons des distances le long de la normale et de la tangente avec décalage $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$