Analisis Respon Frekuensi
Kita telah membahas analisis respons waktu dari sistem kontrol dan spesifikasi domain waktu dari sistem kontrol orde dua. Dalam bab ini, mari kita bahas analisis respons frekuensi dari sistem kontrol dan spesifikasi domain frekuensi dari sistem kontrol orde dua.
Apa itu Respon Frekuensi?
Respons sistem dapat dipartisi menjadi respons transien dan respons kondisi tunak. Kita dapat mencari respon transien dengan menggunakan integral Fourier. Respons kondisi tunak dari sistem untuk sinyal sinusoidal input dikenal sebagaifrequency response. Dalam bab ini, kita hanya akan fokus pada respons kondisi mapan.
Jika sinyal sinusoidal diterapkan sebagai masukan ke sistem Linear Time-Invariant (LTI), maka ia menghasilkan keluaran kondisi tunak, yang juga merupakan sinyal sinusoidal. Sinyal sinusoidal input dan output memiliki frekuensi yang sama, tetapi amplitudo dan sudut fasa berbeda.
Biarkan sinyal input menjadi -
$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$
Fungsi transfer loop terbuka akan menjadi -
$$ G (s) = G (j \ omega) $$
Kita dapat merepresentasikan $ G (j \ omega) $ dalam besaran dan fase seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) $$
Gantikan, $ \ omega = \ omega_0 $ dalam persamaan di atas.
$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$
Sinyal keluarannya adalah
$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$
Itu amplitude dari sinyal sinusoidal keluaran diperoleh dengan mengalikan amplitudo sinyal sinusoidal masukan dan besarnya $ G (j \ omega) $ pada $ \ omega = \ omega_0 $.
Itu phase dari sinyal sinusoidal keluaran diperoleh dengan menambahkan fasa sinyal sinusoidal masukan dan fasa $ G (j \ omega) $ pada $ \ omega = \ omega_0 $.
Dimana,
A adalah amplitudo dari sinyal sinusoidal masukan.
ω0 adalah frekuensi sudut dari sinyal sinusoidal masukan.
Kita dapat menulis, frekuensi sudut $ \ omega_0 $ seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
Di sini, $ f_0 $ adalah frekuensi dari sinyal sinusoidal masukan. Demikian pula, Anda dapat mengikuti prosedur yang sama untuk sistem kontrol loop tertutup.
Spesifikasi Domain Frekuensi
Spesifikasi domain frekuensi adalah resonant peak, resonant frequency and bandwidth.
Pertimbangkan fungsi transfer dari sistem kontrol loop tertutup orde dua sebagai,
$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
Gantikan, $ s = j \ omega $ dalam persamaan di atas.
$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ kiri (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ kanan)} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ kiri (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ kanan) + j \ kiri (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ kanan)} $$
Misalkan, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Gantikan nilai ini dalam persamaan di atas.
$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$
Besaran $ T (j \ omega) $ adalah -
$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$
Fase $ T (j \ omega) $ adalah -
$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ kiri (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ kanan) $$
Frekuensi resonansi
Ini adalah frekuensi dimana besaran respon frekuensi memiliki nilai puncak untuk pertama kalinya. Ini dilambangkan dengan $ \ omega_r $. Pada $ \ omega = \ omega_r $, turunan pertama dari besaran $ T (j \ omega) $ adalah nol.
Bedakan $ M $ sehubungan dengan $ u $.
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ kiri [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ kanan] ^ {\ frac {-3} {2}} \ kiri [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ kanan] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ kanan] ^ {\ frac {-3} {2}} \ kiri [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ kanan] $$
Gantikan, $ u = u_r $ dan $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ dalam persamaan di atas.
$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ kiri [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ kanan] ^ {- \ frac {3} {2}} \ kiri [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ kanan] $$
$$ \ Panah Kanan 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$
$$ \ Sisi Kanan u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Gantikan, $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ dalam persamaan di atas.
$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Puncak Resonan
Ini adalah nilai puncak (maksimum) dari besarnya $ T (j \ omega) $. Ini dilambangkan dengan $ M_r $.
Pada $ u = u_r $, Besaran $ T (j \ omega) $ adalah -
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$
Gantikan, $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ dan $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ dalam persamaan di atas.
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
Puncak resonansi dalam respons frekuensi sesuai dengan overshoot puncak dalam respons transien domain waktu untuk nilai rasio redaman $ \ delta $ tertentu. Jadi, puncak resonansi dan overshoot puncak berkorelasi satu sama lain.
Bandwidth
Ini adalah rentang frekuensi yang besarnya $ T (j \ omega) $ turun menjadi 70,7% dari nilai frekuensi nolnya.
Pada $ \ omega = 0 $, nilai $ u $ akan menjadi nol.
Pengganti, $ u = 0 $ dalam M.
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$
Oleh karena itu, besaran $ T (j \ omega) $ sama dengan $ \ omega = 0 $.
Pada frekuensi 3-dB, besaran $ T (j \ omega) $ akan menjadi 70,7% dari besaran $ T (j \ omega) $ pada $ \ omega = 0 $.
yaitu, pada $ \ omega = \ omega_B, M = 0,707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$
$$ \ Panah Kanan 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$
Misalkan, $ u_b ^ 2 = x $
$$ \ Sisi Kanan 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$
$$ \ Panah Kanan x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$
$$ \ Panah Kanan x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$
Pertimbangkan hanya nilai positif dari x.
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$
$$ \ Sisi Kanan x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
Pengganti, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$
Bandwidth $ \ omega_b $ dalam respons frekuensi berbanding terbalik dengan waktu naik $ t_r $ dalam respons transien domain waktu.