Sistem Kontrol - Kesalahan Stabil

Deviasi keluaran sistem kendali dari respon yang diinginkan selama kondisi tunak dikenal sebagai steady state error. Ini direpresentasikan sebagai $ e_ {ss} $. Kita dapat menemukan kesalahan kondisi tunak menggunakan teorema nilai akhir sebagai berikut.

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$

Dimana,

E (s) adalah transformasi Laplace dari sinyal kesalahan, $ e (t) $

Mari kita bahas bagaimana menemukan kesalahan kondisi tunak untuk umpan balik kesatuan dan sistem kendali umpan balik non-kesatuan satu per satu.

Kesalahan Status Mantap untuk Sistem Umpan Balik Unity

Pertimbangkan diagram blok sistem kontrol loop tertutup berikut, yang memiliki umpan balik negatif kesatuan.

Dimana,

  • R (s) adalah transformasi Laplace dari referensi sinyal Input $ r (t) $
  • C (s) adalah transformasi Laplace dari sinyal keluaran $ c (t) $

Kita tahu fungsi transfer umpan balik negatif kesatuan sistem kontrol loop tertutup sebagai

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

Output dari titik penjumlahan adalah -

$$ E (s) = R (s) -C (s) $$

Gantikan nilai $ C (s) $ dalam persamaan di atas.

$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$

Gantikan $ E (s) $ nilai dalam rumus kesalahan kondisi mapan

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$

Tabel berikut menunjukkan kesalahan kondisi tunak dan konstanta kesalahan untuk sinyal input standar seperti langkah unit, jalur unit & sinyal parabola unit.

Sinyal masukan Kesalahan keadaan stabil $ e_ {ss} $ Kesalahan konstan

sinyal langkah unit

$ \ frac {1} {1 + k_p} $

$ K_p = \ lim_ {s \ hingga 0} G (s) $

sinyal ramp unit

$ \ frac {1} {K_v} $

$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) $

sinyal parabola unit

$ \ frac {1} {K_a} $

$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) $

Dimana, $ K_p $, $ K_v $ dan $ K_a $ adalah konstanta kesalahan posisi, konstanta kesalahan kecepatan dan konstanta kesalahan percepatan.

Note - Jika salah satu sinyal input di atas memiliki amplitudo selain kesatuan, maka kalikan kesalahan kondisi tunak yang sesuai dengan amplitudo tersebut.

Note- Kami tidak dapat menentukan kesalahan kondisi tunak untuk sinyal impuls unit karena, ini hanya ada di tempat asal. Jadi, kita tidak dapat membandingkan respons impuls dengan input impuls unit sebagait menunjukkan ketidakterbatasan.

Contoh

Mari kita temukan kesalahan kondisi tunak untuk sinyal input $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ sistem kontrol umpan balik negatif kesatuan dengan $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $

Sinyal input yang diberikan merupakan gabungan dari tiga sinyal step, ramp dan parabolic. Tabel berikut menunjukkan konstanta kesalahan dan nilai kesalahan kondisi tunak untuk ketiga sinyal ini.

Sinyal masukan Kesalahan konstan Kesalahan keadaan stabil

$ r_1 (t) = 5u (t) $

$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $

$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $

$ r_2 (t) = 2tu (t) $

$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $

$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $

$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $

$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $

$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

Kita akan mendapatkan error kondisi tunak secara keseluruhan, dengan menambahkan tiga error kondisi tunak di atas.

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

Oleh karena itu, kami mendapat kesalahan kondisi mapan $ e_ {ss} $ as 1 untuk contoh ini.

Kesalahan Status Mantap untuk Sistem Umpan Balik Non-Unity

Pertimbangkan diagram blok sistem kontrol loop tertutup berikut, yang memiliki umpan balik negatif nonunitas.

Kami dapat menemukan kesalahan kondisi tunak hanya untuk sistem umpan balik kesatuan. Jadi, kita harus mengubah sistem umpan balik non-unity menjadi sistem umpan balik kesatuan. Untuk ini, sertakan satu jalur umpan balik positif dan satu jalur umpan balik negatif dalam diagram blok di atas. Diagram blok baru terlihat seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Sederhanakan diagram blok di atas dengan mempertahankan umpan balik negatif kesatuan sebagaimana adanya. Berikut ini adalah diagram blok yang disederhanakan.

Diagram blok ini menyerupai diagram blok sistem kendali loop tertutup umpan balik negatif kesatuan. Di sini, satu blok memiliki fungsi transfer $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ bukan $ G (s) $. Anda sekarang dapat menghitung kesalahan kondisi tunak dengan menggunakan rumus kesalahan kondisi tunak yang diberikan untuk sistem umpan balik negatif kesatuan.

Note- Tidak ada artinya menemukan kesalahan kondisi tunak untuk sistem loop tertutup yang tidak stabil. Jadi, kita harus menghitung kesalahan kondisi tunak hanya untuk sistem stabil loop tertutup. Artinya kita perlu memeriksa apakah sistem kendali stabil atau tidak sebelum menemukan kesalahan kondisi tunak. Pada bab selanjutnya, kita akan membahas stabilitas yang berkaitan dengan konsep.